Nous avons maintenant suffisamment expliqué la marche

à suivre pour déterminer successivement, au moyen de la fonction donnée H, les fonctions Hi , Hn-i, satisfaisant aux con-

ditions Hk) = 0. Ces fonctions étant obtenues, il ne reste plus qu’à tirer algébriquement des équations

H—a^ Hn-i — an-i

les valeurs de /?«. En substituant ces valeurs dans l’é-

quation différentielle

dz — Pi dxi -|- p^dx^ + . . . + pndxn,

on pourra toujours intégrer cette équation, puisque les fonctions pn doivent remplir, en vertu du Théorème 11, les conditions d’intégrabilité, et l’on obtiendra l’intégrale complète du problème sous la forme

2 = f{Xi,. , Xny a, Oi,..., «w-l) + an.

53. Voulant présenter l’essence de la méthode de Jacobi sous la forme la plus simple, nous l’avons développée en prenant pour base les Théorèmes I et II. Mais, dans ce mode d’exposition, nous avons rencontré des cas où la méthode est en défaut, et que nous avons signalés dans les Remarques 1 et 2. En outre, les équations dont l’intégration fait connaître les fonctions cherchées ne sont pas encore ramenées à leur forme la plus simple, par l’élimination des variables superflues. Nous montrerons, . dans la suite, qu’en faisant usage des Théorèmes III et IV, nous ne rencontrerons plus de cas où la méthode soit en défaut, et que les équations à intégrer pourront être ramenées à ne plus contenir que le nombre minimum de variables. Mais auparavant nous pensons qu’il ne sera pas inutile d’appliquer la méthode de Jacobi, sous la forme que nous venons d’exposer, à quelques exemples d’équations aux dérivées partielles du premier ordre, de forme facilement intégrable.

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. V, 19. 73

54. On voit par ce qui précède que l’essence et la principale difficulté du problème de l’intégration de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre

H {Xi,..., Xn, Pn) = a

consistent dans la détermination de n — 1 intégrales particulières distinctes^

Hi = ttif } Hn—\~ Un — 1,

de l’équation linéaire {H, 'ip) =0, lesquelles, prises deux à deux, doivent, en outre, satisfaire à la condition

(Nû Hk) = 0,

pour toutes les valeurs de i et de k prises dans la suite des nombres 0, 1,...., n — t.

En conséquence, les formes plus ou moins faciles à intégrer de l’équation H— a sont celles d’où l’on peut tirer immédiatement, c’est-à-dire sans aucune intégration, la totalité ou seulement une partie du système des équations Hn-i^an-i, qui

satisfont à la proposée.

D’après les considérations générales que nous avons présentées plus haut, il est aisé de voir que, sous le rapport de la facilité de l’intégration, l’avantage appartient, dans le cas des équations aux dérivées partielles du premier ordre comme dans celui des équations diflférentielles ordinaires, aux formes dans lesquelles les variables peuvent être séparées. Mais il est clair que, pour les équations aux dérivées partielles, l’expression „séparation des variables‘^ doit avoir une signification autre et plus générale que pour les équations à une seule variable indépendante.

55. Supposons que l’équation aux dérivées partielles du premier ordre proposée soit de la forme

H{Xi,..., Xn, Pm <3P2»-*-^ Ç’m) = «,

désignant des fonctions des variables Xn, Pu^-y Pn, qui satisfont à la condition

(«) (g?r, Cps) = 0,

pour toutes les valeurs de r, s prises dans la suite des nombres

Jî/ischenetsky : Sur V Intégration des équations

Examinons à quelles conditions , outre celle-là , doivent satisfaire les fonctions cpi,..., qpm, pour que, dans l’intégration de l’équation donnée, on puisse les considérer comme des constantes. Pour cela, concevons que, en appliquant la méthode de Jacobi, nous ayons trouvé une partie du système des équations qui satisfont à la proposée,

Hi = ai, Hi—au (l<n)

les fonctions Hi,..., Hi ne renfermant pas les constantes arbitraires Oj,..., ai, mais pouvant contenir cpi,..., cpm; et que, en considérant ces dernières quantités comme des constantes, les fonctions Hi,..., Hi soient supposées satisfaire à la condition

{Hi, Hk) = 0,

pour toutes les valeurs de i et de k, prises dans la suite 0, 1, 2,.., t.

En considérant maintenant de nouveau cpi,,., (pm comme des fonctions de Xi,...., Xn, /?i pn, on trouve que le premier membre de l’équation qui exprime la condition précédente prend, en vertu de la formule (5) du §. 16. (Chap. IV, art. 36), la forme

IHi, Ilk] = {Hi, Hk) -I- ^

{Hi, (pr)

dHk

dq)r

— {Hk, (pr)

d(pr ) ‘

idHidHk dmdHk\. '

r, s l dcps d(ps dcpr j

Lé premier et le troisième terme du second membre de cette égalité sont nuis, en vertu des conditions précédentes. Pour que [e second terme se réduise aussi à zéro, il est évident que les fonctions qpi,.., cpm doivent encore satisfaire à la condition

(/3) {Hi, (pr) = 0

pour toutes les valeurs des indices

56. Remarquons maintenant que, si dans l’équation donnée on reconnaît la présence de fonctions (pm, remplissant les

conditions {cc) et celles des conditions (j3) qui correspondent à l’indice i=:0, c’est-à-dire les conditions

{H,(pi)=z0, (/f, qpa) = 0,..., {H,(pm) = 0,

alors, pour satisfaire au reste des conditions (/?) il suffira de prendre

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. V, S. 19. 75

= 'If'i ((Pi, fPm) = «1,. Bl=: 'Iplicpi, (p2y-’> <Pm) = Ul,

ifji,..., 'tpi désignant des fonctions assujetties à cette seule condition, que du système des équations précédentes on ne puisse tirer aucune relation entre les seules quantités Hi,.., Hi, ou, ce qui est la même chose, entre «i,.., ai. Mais il est évident que cela sera toujours possible, si l<^m. Par conséquent, le nombre des équations satisfaisant à l’équation donnée, qui peuvent être déterminées de cette manière doit être égal ou inférieur à 'm.

Si m n’est pas plus grand que n — 1, et que toutes les fonctions qjj,..., (pm contiennent réellement les variables pn^

et avec cela soient distinctes et indépendantes par rapport à ces variables, alors, il est beaucoup plus simple de poser

H I = (pi d] , . . . , Hm Cpm ~ am •

57. Quant au moyen de découvrir, pour une équation donnée^ l’existence de fonctions cp^,... satisfaisant aux conditions indiquées ci-dessus, on ne peut donner pour cela de règle générale. Toutefois il y a un cas où l’existence de ces fonctions devient évidente, et où par conséquent la méthode précédente peut s’appliquer sans difficulté.

Supposons l’équation donnée mise sous la forme

H{Xiy..., Xi-\, pi-l, (pm) = 0,

la fonction H ne contenant explicitement que les variables x^, Pi,..y xi-1, pi—i; la fonction q)i ne contenant que les variables

pif> pi^k-i‘,...\ la fonction cpm ne contenant que

les variables pi-{^k^...^i,.., Xn, pn. On peut dire alors

que dans cette équation les variables sont séparées. Dans ce cas, il est évident que les conditions

{H, (pr) = 0, (qPr, Cps) = 0

sont satisfaites pour toutes les valeurs 1, 2,..., m des indices r et s. D’après cela, en vertu des conclusions précédentes, au lieu de l’équation donnée, on peut intégrer séparément chacune des équations aux dérivées partielles du premier ordre

H{xi,.^y Xi-i, Pi-ii «1,.., am) = ay

qPj — Uj , . . , q)m — üm ,

ai,.. y am désignant des constantes arbitraires. Si les intégrales complètes de ces équations sont respectivement

Imschenetshy: Sur l’intégration des équations

1 intégrale complète de l’équation donnée sera égale à leur somme

2^0 + + . . . + 2m + Oj == Z + o;.

a. étant la somme des constantes arbitraires «i,-.., dm, introduites par simple addition. En effet, il est facile de s’assurer que cette intégrale satisfait à l’équation proposée, et qu’elle renferme n constantes arbitraires.