Soit l’équation

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. V, §. i9. 77

Si l’on représente son intégrale par l’équation

on en tirera

dz Pi Sz Pn

dxi Pn+l ’ * Sxn ~~ pn+1 ’

en posant

dv dv

Par la substitution de ces valeurs, l’équation donnée prend la forme

\ Pn+l’ " Pn^lJ

dans laquelle les variables sont maintenant séparées. Par conséquent, l’intégrale de l’équation transformée sera donnée par la somme des intégrales des équations aux différentielles ordinaires

Pi

p2 a„..., p«-a„, z~F\^ VnW"’ pn+i)'

La dernière équation, en particulier, s’intégre simplement, lorsque la fonction F est homogène du degré par rapport à

; elle prend alors la forme

d’où

pn+l = — [F(ai, . an)y . 2 9

Par suite, l’intégrale complète de l’équation transformée devient

vi-a— aiXi-i-a^x^ -{ranXn an)]9>.z fi •

ft J

En égalant le second membre à zéro, on en tire, pour la valeur de Z qui satisfait à l’équation proposée,

fi

. — iV-i («1^71 -f + . . . + anXn)fi-i

^ [F(Oi, «2,..., an)]^