Chapitre
23. Nous allons maintenant considérer le problème de Tintégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre de la forme la plus générale, c’est-à-dire, sans restriction relative au nombre des variables indépendantes ou à la forme de l’équation.
En conservant les notations adoptées au §. 1, représentons encore le type général de ces équations sous la forme
(1) æny 2, pi,.,., /?«) = 0.
La détermination immédiate de Tintégrale générale de Téquatioq (1) constituerait un problème trop complexe; à cause de cela, on cherchera d’abord son intégrale complète, renfermant n constantes arbitraires, de laquelle, comme on Ta démontré plus haut (Chap. I, §§. 2. — 6.), on déduira ensuite, par la variation des constantes arbitraires, les intégrales générales et l’intéjgrale singulière. Une autre manière de traiter le problème consiste, au lieu de déterminer immédiatement l’intégrale complète, représentée par une équation entre les variables indépendantes Xm la fonction
Z et n constantes arbitraires, à chercher d’abord les expressions des dérivées partielles pi,***iPn de la fonction 2. En substituant ces expressions dans l’équation
(2) dz =r pidxi + p^dxz + . . . . ^pndxn ,
qui donne la différentielle totale de la fonction z, et intégrant cette équation, on obtient l’intégrale complète cherchée. Si l’on met cette dernière sous la forme d’une équation résolue par rapport à une des constantes am on a
(3) /‘(a:,,..., Xm 2, fli,..., an-i) = an;
d’où, en différentiant par rapport à chacune des variables indépendantes, on tire
aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. lU, §. 10. 33
Pi =
■ ^ dxi
-dj
pz
pn =
if
Par suite, /?i,. doivent être des fonctions de Xi,.., Xn, h et renfermer dans leurs expressions n — 1 constantes arbitraires
De plus, pour que l’équation (2) admette une intégrale, telle que (3), il 'est nécessaire que les fonctions /?!,..., /?« remplissent les conditions d’intégrabilité, lesquelles sont de la forme
^pi , ^pi ôpk . dpu
i et k représentant tour à tour toutes les combinaisons différentes des nombres 1, 2,..., ti, pris deux à deux. Par suite, ces conditions sont au nombre de et on les écrira toutes, sans
omissions ni répétitions, en donnant à l’indice i les valeurs successives 1, 2,..., 21 — ], et, pour chaque valeur de i, donnant à l’indice k successivement toutes les valeurs plus grandes que i, jusqu’à n inclusivement.
Introduisons, pour abréger, la notation suivante: u étant une fonction quelconque, qui renferme, outre les variables indépendantes Xm la fonction z de ces variables, nous représen-
terons la dérivée partielle de u par rapport à l’une des variables
indépendantes xi, par le symbole d’écrire
du du
d^ + g^pi* après cette convention, le type général des conditions d’intégrabilité prendra la forme
\da:k/ KdxtJ'
