cV4 + ‘'‘^V

Par conséquent, l’intégrale complète de l’équation transformée sera

hxi 2 /6^ , 1 (« —

bxs^

Enfin, en égalant à zéro le second membre de cette équation, nous aurons l’intégrale complète de l’équation proposée.

61. Dans les exemples précédents, la solution complète s’obtenait au moyen de la seule séparation des variables. Maintenant il ne sera pas inutile de traiter un cas dans lequel l’application de ce procédé, quoique simplifiant le problème et donnant une partie de sa solution, ne dispense pas toutefois, si l’on veut obtenir l’intégrale complète, de recourir nécessairement à la méthode de Jacobi.

Soit donnée l’équation

H— f —JL L^— dz\ dz ^ dz Y

~~ \ ® dxi dx^J \dari dx^J \dx^/

, ^ \ Bz dz

\dx. + ^6 J g — «•

/ di \dxi

Bx^J

Cette équation renferme six variables indépendantes x^,.., x^, et ne contient pas la fonction inconnue z elle-même, mais seulement

ses dérivées partielles j En désignant celles-ci respectivement par Pq, et n’introduisant pas d’autre change-

ment dans la forme de l’équation proposée, cette équation deviendra

Imschenetshy: Sur Vintègration des équations

(a;2/>i+a;iP2)3:3+/>3(p,— P2)[^4*+(j05 + Æ4)(p5+a-6)j9g] = a.

Maintenant il est évident que les variables Pi > ^2, Pa, ^3» d’une part, et d’autre part ^4, /?4, x^, p^, Xq, Pq sont séparées. En égalant à une constante arbitraire a l’expression entre crochets, qui est formée avec le second groupe de variables, on ramène le problème à l’intégration des deux équations

P4‘‘+(.Pi+^4)(.P5 + ‘>^6)p6 = «.

(X2P1 + Xip^) a-3 + e/>3 (pi —pi) = a.

La première de ces équations s’intégre très -simplement au moyen de la séparation des variables. En effet, remarquons d’abord que la variable indépendante x^ n’y entre pas explicitement; posons par conséquent

Pb = /5;

Téquation prendra la forme

;?4» + (/î + (jî + Xi)ps = «.

Il est évident maintenant que les deux couples de variables x^ et /?4, Xq et Pq sont séparées. En posant donc

il vient

et l’on en tire

Pe = P4 = V cc-^y—yXi-,

par suite,

/ 1 ydx^

Pidx^ + p^dx^-\-pQdxQ = V a^-^y—yx^.dx^ i- §dx^ ’

d’où l’on tire, par l’intégration, la fonction cherchée

. z' -h A' = ^ (a—^y — yx^)^ + ^x^ -f log ((3

62. Passons à l’intégration de la seconde des équations précédentes,

H — P2) ^3 + iPi — /^a) = «•

Ici l’on n’aperçoit pas la possibilité de séparer les variables. Nous prendrons donc la méthode générale de Jacob i, pour trouver deux fonctions /7i, 7/^ variables x^, x>i, x^y pi, p^, p^.

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch, F, §. 19. 81

D*abord nous chercherons une fonction Hi satisfaisant à l’équation linéaire

' ' dxi dpi dpi 8xi * 8x2 8p2 ^Pt 8x2

8H 8Iii 8H 8Hi

puis une autre fonction H2 satisfaisant aux deux équations simul. tanées, de même forme que la précédente.

{m) {H, H2) = 0, (/fl, H2) = 0.

D’après cela, la fonction Hi devra être déterminée comme une des intégrales du système d’équations simultanées

dpi dp2 dp^ ~dxi — dx2 —dx^

JET ^ET ~ lET ^Ji ^ET 'JE7'

8x1 8x2 8x3 8pi 8p2 8p^

lesquelles, par la substitution de la valeur donnée de H, prennent la forme

dpi dp2 dp^

X3P2 X2P1 + Xi p2

— dxi — dx2 — dx^

X2X^ f ap^ ^1 0:3 — a/?3 ct{pi —p2Ï

D’après une propriété connue des rapports égaux, le premier et le second, le quatrième et le cinquième rapport du système précédent donnent l’équation

d(P\ ^tPt) d {xi + X2)

Pi+i»2 a:, +0:2 ’

dont l’intégrale est

\xi -\-X2){pi +/?*) = const.

On peut donc poser

Hi (ar, ■\-X2){pi 4 /^2).

63. 11 faut ensuite déterminer la fonction H2 satisfaisant simultanément aux deux équations {m). Pour ce calcul , il est commode de s’aider du tableau suivant:

hnschenetsky : Sur l'intégration des équations

dpi

dp3

Va +«;»;

x^x^—aps

(^(Pi—Pi)

Pi+Pî

P^—Pl

(H, HO (H,<p) = 0,(H, y;) = 0, (^1, 6) = 0, 6';=:0,]

= 0. (H„ g>) (H^, Xf;) = 0. (H, 6) (H, eO=i

=Pi*-i»î® ■=(Pi—Pi)x3=(Pi--P2^

=z2q>. = — 3:36 +aOi— P-l

Dans ce tableau sont inscrits, en tête des différentes colonnes, les symboles des fonctions qui entrent dans le calcul, et dans les colonnes elles-mêmes se trouvent les dérivées partielles

de ces fonctions. Les notations inscrites à gauche

du tableau, indiquent la variable par rapport à laquelle est prise chaque dérivée. Enfin, au bas de chaque colonne, nous avons placé les valeurs des combinaisons de la forme {A, B) de la fonction correspondante à cette colonne avec les fonctions précédentes. C*est principalement pour le calcul de ces combinaisons que notre tableau est commode.

D’après la' théorie, il faut commencer le calcul de H^, par déterminer une intégrale de Tune des deux équations (m). Si l’on prend pour cela la première de ces équations, il faudra déterminer une des intégrales du système (w), autre que /^ = const. | Le premier et le second rapport de ce système fournissent l’é quation

dpi dp^ Pi Pi

dont l’intégrale est

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch, r, §, 19, 83

^ = con«t.

Au moyen du premier, du second et du dernier rapport du système (72), nous avons l’équation

—P2) __ dx^ ou

ad {pi —pi) = x^dxs.

dont l’intégrale est

jp z= a ( Pi — ^ = const.

64. Le tableau précédent montre que l’intégrale g? ne peut fournir la valeur de Zfa? p^i’ce que le résultat de la substitutiou dans (lli, çp) n’est pas égal à zé^ro, et que, ce résultat étant une fonction de (p, alors en vertu de la Remarque 1 du §. 18 (art. 49), la fonction q? ne peut servir pour le calcul de lorsqu’on a déjà choisi la valeur de üi.

On voit par le même tableau que l’intégrale 'iJj satisfait aux deux équations simultanées (m); on peut donc prendre

En égalant les valeurs trouvées pour Hi et pour /fg respectivement à des constantes arbitraires 6 et c, on aura, au lieu de l’équation donnée, les trois équations

H = {x^p^ + X^ p^) (Pl — P‘l) = «î

= {x^ 4- x){pi +/?) = 6,

= ^{pi—p<ù 1- == c,

d’où l’on tire algébriquement

2 (Xi -f X2) 2a 4a ^

2a — bx, 1 ,

par conséquent,

Imsc henetshy: Sur V intégration des équations

Pi dxi + + Pzdx^

b d{xi^ x^) 1

~ 2 a:i + a:jB ‘io + 2

. 1 X » . 2a — ÔÆJg ,

2a x^dx^ + 2^ |. ^^2 dx^.

En intégrant cette expression, nous obtiendrons ia seconde partie de l’intégrale cherchée,

*" -\- j4!' log {xi + a:,) +!^ (;r, — x^){c + ^) aV^2 X b

+ VI Vfc ~ 2 '"S

Par conséquent l’intégrale complète du problème sera * + ^ = z' + 2" + + A'')

(Xi -j- x^)^(P-j-Xe)Y ^ 1

log J

(2ci-xs^f

+ ^<^1—^2) (c + vr)

aV**! ^32^ î ^

A = A' ^ A", b y c, cc, |3, y désignant six constantes arbitraires distinctes. /

66. Voyons s’il n’est pas possible d’obtenir la solution du problème, en commençant le calcul de la fonction par la détermination d’une intégrale de la seconde des équations (m).

L’intégration de l’équation

{Hi, Hy) = (pi+p,)^ - (a:, + + (pi + ^

se ramène à celle du système d’équations

dpi dpi — dxi — dx^

Pi +P2 “ Pi +P2 ^1 +^2 ~ ^1 +^2’

dont les intégrales sont évidemment

Pi — P2 = const, Pi — /72 + ari — a:* = const.

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch, F, i9, 85

Prenons la première de ces intégrales, comme étant la plus simple, et posons

(9 = pi — /?2.

Le tableau ci-dessus nous fait voir que le résultat de la substitution de 0 à la place de dans la première des équations (m) est — et cette fonction, que nous désignerons pur 0', sera, d'après la théorie, une nouvelle intégrale de la seconde équation (m). Le résultat de la substitution de & à la place de dans la première équation (m) sera

La fonction 6" est évidemment une nouvelle intégrale de la seconde équation (m); mais elle s’exprime en fonction des deux précédentes 6 et 6', Nous arrêterons donc là les substitutions, et nous chercherons une fonction F des deux intégrales distinctes S et 6', qui satisfasse aux deux équations (m). Pour cela, formons les équations

F(0, ê')] = (H,, (^1, dO ^

La première de ces équations est satisfaite par une forme quelconque de la fonction F; la seconde sera satisfaite, si l’on détermine F comme intégrale de l’équation

de de'

En exposant la théorie générale, nous avons introduit dans un pareil système d’équations une nouvelle variable t, en égalant la valeur commune des rapports précédents à la différentielle dr. Mais dans le cas actuel il sera aussi simple de se passer de variable auxiliaire. En effet, l’équation précédente peut s’écrire sous la forme

Imschenetshy : Sur Vintègralion des équations

En posant

il vient

Ck ^1’ ' I /I

0 =«e, dou ^ = „ + e-.

= M + ou uduzzzadBf

d’où, en intégrant,

ad = const. + -2 ^

et par suite

fi'2 -y 2

Cette intégrale de la première équation (m) avait déjà été tirée immédiatement du système (71), et nous l’avions désignée par 1/;. Par suite, la nouvelle voie conduit à la meme intégrale complète; cependant, quoique plus longue, elle est plus intéressante que la précédente, en ce qu’elle présente une application plus complète de la théorie de Jacobi.

66. Nous allons maintenant introduire, dans l’exposition de la méthode de Jacobi, les simplifications et les compléments dont il a été question à la fin de l’avant-dernier paragraphe (art. 53).

Représentons encore l’équation donnée par

Xn> Pn) = «,

la fonction inconnue 2 des variables indépendantes a*!,..., Xn n’y entrant que par ses dérivées partielles pi pn; et le système des w — 1 équations cherchées qui doivent la compléter par

Hi ~ «1, ^2 “ Hfi—i — a.n—1»

les premiers membres devant être des fonctions des variables Xi,..,, Xn, pif-> Pn, qui ne contiennent pas les constantes arbi* traires , . . . , On-i-

Ce système de n équations peut évidemment être remplacé par tout autre système équivalent. Par exemple, par la première de ces équations, on peut exprimer pi en fonction des autres va-

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. V, 20. 87

riables et de a; en substituant cette valeur de pi dans la seconde équation, on pourra en tirer la valeur de en fonction de toutes les variables restantes, hormis pi et p^, et des constantes a, «j. En continuant ainsi, il est clair que l’on pourra généralement exprimer chacune ^es n premières quantités de la série

Pl9 Pny ^i> fil,..., Qn-l

en fonction des quantités qui les suivent dans cette série. 8i l’on désigne ces expressions respectivement par coj, «n,

nous aurons, au lieu du système d’équations précédent, cet autre système équivalent, composé aussi de n équations.

Pi — û)i = 0, p<^ — û)2 = 0,..., pn — Wn = 0.

67. Comme nous avons sous-entendu, dans ce qui précède, que les premiers membres des équations H=a, Hi = ai,.... satisfaisaient identiquement à la condition

(а) {Hi,nk) = 0,

pour toutes les valeurs des indices i ét k prises dans la suite des nombres 0, 1,.., w— l; alors, en vertu du Théorème III du §. 17 (art. 41), les premiers membres des équations pi — Wj = 0, «2=0, ... devront satisfaire identiquement à la condition

(б) (/îi-l-i— «î-fi, — ûîifc-j-i) = 0,

pour les mêmes valeurs des indices i et k. Et de même que les éqnations {a) nous ont servi pour la détermination successive des fonctions Hi,..., Hn-i au moyen de la fonction donnée H', de même les équations (6) pourront servir à déterminer les fonctions <»2, ...» Wn au moyen de la fonction donnée coi. Mais il est facile de voir que les équations (6) sont plus simples que les équations (a) correspondantes.

En effet, ces dernières sont toutes de la même forme, m—l\^^mvpm Opm OXm /

et, comme chacune des fonctions Hi, Hk contient toutes les 2n variables Xi,..., Xn, Pi,..., pm chacune de ces équations aura 2w termes. L’équation correspondante du système (6), formée d’après la même loi, sera

Imschen etshy : Sur V intégration des équations

— — S(pk+i—(Ok^i) d(pk+i~-ù)k+i)]

da:r

dpf

dpr

da:r

Mais si l’on observe que les fonctions coi-fi, qui peu-

vent renfermer toutes les variables Xi,,.,æn, ne doivent contenir, parmi les variables pi,.,., pn, que celles dont les indices sont respectivement plus grands que les indices k-\-\ de ces

fonctions; il est facile de s’assurer que l’équation précédente aura d’autant moins de termes que les nombres i + 1 , k-{-\ seront plus grands. D’après cette remarque, et en supposant i<^k, on pourra développer comme il suit la somme qui forme le premier membre de l’équation précédente.

ÔCOf+l

da:, '

★ if

(wï = i + 1)

’ 0;ri4.2

(m = Âr + 1)

Soit-fi

dooi^i

dæk^i

Ba:k+i

ÔOJi-l-l

Swi-fi

dpk+i

ÔCOÎ+I

ScOjfc-fl

ÔcOî+l

dcûk-^1

dæk-i-i

1 dpk+2 *

dxk^2

do^k+i

Bpk^2

dXn

dcoi^i

dpn

dXn

Bpn 1

Dans ce développement, nous avons remplacé par des astérisques (*) les éléments de chaque déterminant qui devaient être multipliés par zéro. 11 est évident, d’après cela, que l’équation précédente peut s’écrire comme il suit.

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch, 20. 89

( pi^i — Wi+i , /?fr+i — ca*+i)

I dcOj^l m=^^l dcùk-^i

\ m=k+2 \ Spm dpm dXm J '

et que le nombre de ses termes est égal à — k — i. Ainsi, par exemple, dans la première équation du système (6), pour laquelle 2 = 0, Â: = 1 , il y a 2^2 — 1 termes; dans la dernière, où i—n—% k—n—\, il y a seulement 3 termes.