D’après cela, la fonction des variables pn

Xy,..., Xn devra être déterminée au moyen de la fonction donnée ûJi, par l’intégration de l’équation linéaire

. dcoi Ôc»2

”>=« /dcoi da)2 __ ^

m=2 \dXm dpm dpm dxm) ’

dans laquelle la fonction cherchée p^ = «2 entre non-seulement par ses dérivées partielles, mais encore explicitement dans les coefficients. Le nombre des termes est 2» — 1, et l’un d’entre eux ne contient pas les dérivées partielles de la fonction cherchée.

La fonction cug des variables pn, Xi,,.., Xn devra être

déterminée au moyen des fonctions connues coj , 0)2, de manière à satisfaire simultanément aux deux équations linéaires

ÔcOi dcÛ3 dcOi 00)3 0COj dojg

P\ 5 Pz W3) -f

dpm ^Pm dXm J '

iP2~^2’ P3~(^3)—:

m=i VSæ’to 8pm 8pm 8Xm ) ~ '

dont les coefficients contiennent pareillement la fonction cherchée /)3=o)3, et le nombre des termes est égal pour la première à 272 — 2, pour la seconde à 2/2 — 3.

Ln général, lorsqu’on aura déjà déterminé les fonctions

90 Imscfiene tsky: Sur V intégration de s équations

û)2, o)fc, alors, au moyen de ces fonctions et de la fonc-

tion donnée œj, on devra déterminer coit+i en fonction de a?!,..., Xm de manière à satisfaire simultanément au système des k équations linéaires

{U) {pi — Wj, p1(^\ — Wfr-fl) — 0, (/?.2 ~ 0)2, pk^\ — 0)t-fl) = 0, . . ,

{pk— m, pk+i — o)fe-f-i) = 0,

lesquelles sont de la forme de l’équation (c), et s’obtiennent en faisant successivement dans celle-ci

Relativement à leur forme, nous n’aurons qu’à répéter les remarques faites plus haut sur les équations des systèmes précédents, et les nombres de leurs termes seront respectivement

On peut écrire de cette manière chacun des n systèmes d’équations qui servent à la détermination successive des fonctions ©2, Wg, o)n* Mais on voit par ce qui précède que, dans les différentes équations d’un même système, le nombre des variables n’est pas le mêîne, non plus que celui des termes. Ainsi, dans les équations (k), les nombres des variables forment évidemment la série

2« — i, 2w— 2, 2w — 3,..., 2n — k, les nombres de termes étant exprimés par la série {k').

En conséquence, il faut transformer les équations ci-dessus, de manière à rendre le nombre des variables, ainsi que celui des termes, identiques dans toutes les équations d’un même système, et respectivement égaux aux nombres des variables et des termes dans la dernière équation du système. Ainsi, dans chacune des équations (Je), on réduira le nombre des variables à 2n — k, et celui des termes à 2n — 2k-\-\,

69. Commençons par appliquer cette transformation aux équations (2). La première de ces équations peut s’obtenir immédiatement, puisque la fonction coj des variables p^,.., pm Xn

se tire algébriquement de l’équation donnée; mais on ne peut former la seconde qu’après avoir déterminé une intégrale /?2 = coa do l’équation (1). Dès que l’on connaîtra cette intégrale, où coa désigne une fonction de p^,,.., pn, Xi,..., Xm on pourra alors évidemment substituer dans coi la valeur àe p^, et exprimer ainsi 0)} au moyen des mêmes variables que d’où il devra résulter

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. F, S. 20. 91

une simplification de la première des équations (2). En désignant par û)/ ce que devient la fonction (Oi après la substitution, et par t une quelconque des variables /îg,..., Xi,..., Xn, il est

clair qu’on aura

dcoi' Ba)i Bcoi B(D2

dt dt ô/?2 Bt

Cette formule indique d’elle-même de quelle manière s’opérera la transformation demandée. Pour cela, il est aisé de voir qu’il faut ajouter à la première des équations (2) le produit de la se-

conde par > ee qui donne

0 = -(ïïxr +

Scoj Bœi ôa>2

Bx^

/Bcoi Bcùi ô(»2\ , 5a)i Ba)2\

~~ \ ^P2 ^^2 ^^2/ \ ^PZ ^ ^P2 ^Pz)

ÔW3

Bxi

Bx.

tn=n

1 0(»i 0W2^Sc»3 /BcOi 5ci?2 \ \

m Bp2 Bxm/Bp m m ^ ^P2 ^Pm) Bx m )

OU, en remarquant que

Bœi Ba)2 Bcoi Bco^ Bp2 Bx2 Bp2 Bx2

et ayant égard à la formule précédente.

BcOi^ BcOÿ 0Q)i' Ôû)3 Bxs ' Bxi Bp3 Bxs

/Bcoi' B(X)3 Bcoi'

m=4 \^Xm Bpm Bpm

Bc^\

BXmJ

On remplacera par cette équation la première des équations (2), après quoi ces deux équations ne renfermeront plus l’une et l’autre que les mêmes variables /?3, p^,..., pn, Xi^..., Xn, et auront le même nombre de termes 2w — 3; de sorte que l’une des équations se transformera dans l’autre, lorsqu’on changera coi' en 0)2 et vice versa.

Il est évident aussi que ces deux équations peuvent être représentées symboliquement sous la forme

— OJ/, /?3 — û)3)=:0, (/?2 — 032» Ps — = 0»

et que leur combinaison donne encore une troisième identité,

92 Imsc henetshy: Sur V intégration des équations

laquelle doit avoir lieu en vertu du Théorème ÏV du §. 17.

70. En suivant la même marche, on pourra effectuer la transformation voulue dans tous les systèmes successifs d’équations qui servent à la détermination des fonctions «5,.... Sans nous arrêter donc à chacun de ces systèmes en particulier, nous allons indiquer la marche de cette transformation pour les équations (Jk) (art. 69), qui peuvent représenter un quelconque des systèmes que l’on aura à considérer.

On ne peut former les équations (Ji) qu’après avoir déjà obtenu les valeurs

V\ Pn, Xn),

~ Pn> Xn),

pk-i = a^i,..., Xn),

pk = . ., pn, ^1,.-, Xn),

dont la première se tire algébriquement de l’équation donnée, et les suivantes respectivement de l’intégration des équations (1), (2')....

En substituant les valeurs de pu, 1,.., p^i représentées par ces équations successives, dans chacune des équations précédentes, on exprimera toutes les fonctions «i, cok-i de la même

manière qu’est exprimée la fonction cot, c’est-à-dire au moyen des

variables , . . . . , pn» x^, Xn» Si l’on désigne par w,

(ük-i' ce que deviennent ces fonctions après les substitutions, et par t une quelconque des variables dont elles dépendront alors, il viendra

id)

Scùk-l'

Scok-

Scûk-l

Scùk

St

— St

Spk

St

Sa)k-2'

S(Ok-i

Scûk-^

ScDk-l

St

St

Spk-1

St

ScOi'

Sû)i

Smi SCÛ2'

St

Scok-I

Spk-\

St

dpk Si

Sai Scû^'

Spa St

da)i Scûk

Spk St

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. F, $.20, 93

71. Ces formules montrent d’elles -mêmes comment on devra procéder pour faire la transformation demandée. Prenons les équations {k)

{pi—OJii — tüfc+l) = 0, ip^ ^2, Pk^l — Wfc-pi) =0,...,

{pu Wfc, — = 0,

et désignons ' les respectivement par

(^1)5 (^2)» • * • 5 {kk)»

Pour les réduire à la forme de la dernière {kk), on commencera la transformation par l’équation {kk-i), et pour cela, comme l’indique la première des équations (cZ), on ajoutera à l’équation

^ojk 1

{kk—i) l’équation {kk) multipliée par qui donnera l’é-

quation

(A.1) +(fe)-g^=0, '

ou, en vertu de la formule en question, l’équation

{kk-i’)

dxk+1 dxk-i

dojk—i' dojk-^i Bpk^i dxk^i

” /dojk-i' dojk^i dojk-

m=A:+2 V dx

dpm dpm

CXm J

qui remptacera l’équation {kk—\) du système {k).

Pour transformer l’équation {kk—2), il faudra, d’après la seconde des formules (df), ajouter à l’équation (Jck—i) l’équation

{kk—1*) multipliée par et l’équation {kk) multipliée par

ÔWfc-2

^Pk

— > ce qui donnera l’équation

ou

(/rfc-2')

, ^^±1 Bcok—l' ÔcOfc-l-l

1 dxk-2 1 d.rjt-f 1

-f /d(0k-2' doik^i doJk-2.' ^

Tn=k-^i \ ^Xm dpm ^pm Bxm /

Supposons que, en continuant de cette manière, nous ayons

Imsc henetshy : Sur V intégration des équations

transformé toutes les équations du système (à:), à l’exception de la première ; alors, pour transformer aussi celle-ci, on formera l’équation

laquelle, en vertu de la dernière des formules (c?), prendra la forme

doJi SwAr-fl