Ainsi le système transformé se composera des équations

(/ik-2/)y {kk-X*)y (^fc).

Dans chacune de ces équations entrent les seules et mêmes variables pn» Xiy».y Xn, et elles Contiennent toutes le meme

nombre de termes 2n — 2^ -fl.

Il est évident que ces équations se transforment les unes dans les autres par l’échange des fonctions ojk-i^, ojk;

on pourra donc les représenter toutes par la même formule générale

Sw/' doJk^ doH‘

dxk^x ^xi dpk^i

m=n doJk^l don* Q

7n=/t-|-2 n* ^Ptn ^Pm Sxm J

OU l’on fera successivement /=!, 2,..., k.

Cette même formule peut servir à représenter les équations de tous les autres systèmes, qui s’en déduisent toutes en donnant successivement à l’indice k les valeurs 1, 2,..., n — 1, et attribuant, pour chacune de ces valeurs, à l’indice l toutes les valeurs non plus grandes que k.

Enfin, remarquons encore que le système {k) transformé peut s’écrire symboliquement sous la forme

( Pi — ^ p*-f-i — Wit+i) = 0, (Pa — wj', pu^i — ojk-^i) = 0, . . . ,

(pk — wfc, pjt^ 1 — wifc^i) = 0,

Sxk^i

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch F, $. 2i. 95

wi's 0J2', . ... i vjk désignant des fonctions des seules variables

Prit ^i>***>

A ces équations on peut encore joindre les identités

{pi — OH^y pV — OiV^) = 0,

qui ont lieu, en vertu du Théorème IV du §. 17, pour toutes les valeurs de l et de V prises dans la suite des nombres 1, 2,.., k.

73. Avant de traiter de l’intégration des systèmes d’équations obtenus dans le paragraphe précédent, faisons-leur subir encore une dernière transformation, d’ailleurs très -simple et uniforme, et qu’il suffira, en conséquence, d’expliquer sur l’équation (e), qui représente le type général de toutes les autres.

Dans l’équation (e), pk^i^ojjt^i désigne la fonction cherchée des variables pk-\-2,.., pn, JOi,.., Xn; et est une fonction donnée, dans laquelle entre, outre les variables précédentes, la fonction elle -même pk^i = wt+i qu’il s’agit de déterminer. D’après cela, suivant le procédé ordinaire, on transformera cette équation en une autre, pareillement linéaire, dans laquelle la variable pk^i se joindra aux précédentes comme variable indépendante, et où la nouvelle fonction inconnue n’entrera plus dans les coefficients de l’équation.

Supposons, en effet, que

fkipk^i, Pk\^y y ptiy Xi,.., a:n) = const=:ajt soit l’équation d’où l’on doive tirer la valeur

satisfaisant à l’équation (e). L’équation fk=:ak, par la substitution de la valeur wAt+i de se changera en identité; par

suite, en la différentiant par rapport à l’une quelconque t des variables pny Xiy...y Xny nous aurous encore une identité,

dfk ^fk doJk^i __ dt ^ dpk+i dt *

Bfk dojkj-i __ djl dpk^i dt dt'

Imschenetsky: Sur l'intégration des équations

En multipliant donc réquation (e)

dfk

par — 5

^ opk+i

il viendra

dfk doji^ dfk dojk-\-i doji* / dfk Swjt-piX dpk^i dxk-{^i dpk^i da;i V dpk^-i d^^ij

Tn=k-\-2. \da:^m \ dpk-{-l dpm J dpm \, dpk-{-l dXm J)

OU, en vertu de l’égalité précédentes

dfk /doH^ dfk ^ dojf dfk \ Q

dxi ^ m=k-{^2\^^‘m dpm dpm dxmj ~~

Enfin, cette équation peut encore se mettre sous la forme symbolique

{pi — Oil*, fk) = 0,

0)1* et fk représentant des fonctions des seules et mêmes variables pk^ly pk-Y‘i‘y^^y Pny ^n-

74. Toutes les équations étant finalement ramenées à la forme convenable, nous pouvons maintenant exposer la méthode pour les intégrer. Le plan général et l’essence du procédé nécessaire pour le succès de cette intégration sont, dans le cas actuel, analogues à ce que nous avons développé au §. 18, en traitant de l’intégration des équations correspondantes, de forme non encore simplifiée. La diflérence de détail provient principalement, dans le cas présent, de rélimination graduelle des variables superflues dans les équations qu’il faut intégrer pour la détermination successive des n — 1 fonctions inconnues. De cette manière, nous aurons encore ici n — \ systèmes à intégrer, lesquels se composeront des mêmes nombres d’équations que précédemment; mais, chaque fois qu’on passe à la détermination d’une nouvelle fonction, le nombre des variables est diminué de deux unités, par suite de l’élimination effectuée à l’aide de la fonction que l’on vient de déterminer immédiatement avant celle que l’on cherche. En même temps que la théorie se trouve simplifiée par ce procédé, elle est encore perfectionnée sous un autre rapport: les équations d’un même système contiennent maintenant un égal nombre de variables; mais les variables ne sont pas toutes identiques dans les diverses équations, et cette circonstance a pour effet, comme nous le verrons bientôt, de délivrer la théorie de l’imperfection que nous avons signalée dans la Remarque 1 du §. 18 (art. 49), et qui diminuait la sûreté des applications de la méthode.

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch, F, §. 21. 97

75. La détermination successive des n — 1 fonctions inconnues, nécessaires pour la solution de notre problème, peut être présentée comme il suit sous une forme générale.

De l’équation donnée aux dérivées partielles du premier ordre Xn, Pn) =

on tirera algébriquement la valeur de l’une des dérivées partielles Pi, en fonction des autres et des variables Xy,.., Xn\ soit

P\ = «^1 Pn, ^1 > • • J Xn, a)

cette valeur. Pour déterminer l’équation

/l ( Pi, • • J Pn, y ' • , t^ny a) — -î COnst. — ,

d’où l’on tirera l’expression de p^ en fonction de pn x^,...

Xn, a, «1, on prendra l’équation linéaire

qui, en vertu de la formule {g), est de la forme

^ 4- Ml Ml 0

3^1 ^ m=2\9^<n Mni Spm SxmJ

et l’on déterminera une de ses intégrales particulières, renfermant P2» ce qui se ramène à la détermination de Tune des intégrales du système des 2w — 2 équations simultanées aux différentielles ordinaires entre 2w — 1 variables,

dxy dx^i d:Xji dp^ dpn

1 dojy * * ” dojy d^i * ’ * dwi

dp2 dpn Bx^: Bxn

Si l’on représente cette intégrale par

Pn, OCyy.., Xn, «) = COnst.,

on pourra prendre fyzzzçp, et de l’équation /j = Oj on tirera la valeur cherchée de savoir

= W2(/?3,.., Pn, Xy,.., Xny O, «i).

En portant dans la fonction ojy la valeur que l’on vient de trouver pour p^, et désignant par Wj' ce que devient oq après cette substitution, on aura

Imschenetsky: Sur Vintégration des équations

pour la valeur de px exprimée au moyen des mêmes variables que /?2.