A , ^ JA

8^1 ^ m=3\8a^m Spm dfm dxmj ’

M . ""SY^ JA iîîi JA'k ft

*' m=3\8^m Spm Sfm SXmJ ’

et l’on en déterminera une solution commune. A ces équations on pourra encore joindre l’identité

(«') iPl—^l 'y P2 — "2) = 0,

qui a lieu en vertu du Théorème IV du §. 17.

La détermination de la fonction satisfaisant aux équations simultanées linéaires aux dérivées partielles (et), s’effectue en s’appuyant sur le Théorème I du §. 17, et s’aidant de l’identité (a').

On cherchera d’abord une intégrale particulière de l’une des équations (a), intégrale qui renferme /jg; ce qui se ramènera à la recherche de l’une des intégrales du système des 2w — 4 équations simultanées aux différentielles ordinaires entre 2n — 3 variables

dxi dxs dxn dp^ dpn

dps dpn dXn

si l’on veut obtenir une intégrale de la première des équations (a); ou du système

dx^ dx^ dxn dp^ dpn

1 do}2 * * * ^"2 ^‘'^2 * ’ ^^^^2

Ô/?3 dpn dx2 dXn

si l’on veut obtenir une intégrale de la seconde des équations (a).

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. F, §. 2i. 99

Supposons, par exemple, que nous ayons déterminé une intégrale du premier de ces systèmes,

pn, a?,,.., Xn» a, ai) = const.,

dans laquelle pourra entrer en jouant le rôle de constante.

Cette fonction t/;, qui représente une intégrale particulière de la première équation (a), substituons -la dans la seconde de ces équations à la place de substituons le résultat t/zj de cette substitution dans la même équation à la place de f^y et ainsi de suite. Nous obtiendrons ainsi la série de fonctions

0J2, 'ip) = 'ipiy {pi'—0)^y (P2-W2, =

On prouve aisément, au moyen du Théorème 1 du §. 17, que les fonctions -i/zj, sont des intégrales de la première équa-

tion (eu). En effet, en prenant l’identité qui exprime ce théorème,

lAy {B, C)]^r[By (C, ^)]+[C, {A, i5)] = 0,

si l’on y fait A=:^pi — B = — ««a» égard à

l’identité (a'), on trouve

(P2— "2. C)] — «2, (C, Pi-OJ,0] = 0,

identité qui a lieu pour toute fonction C des variables Xi,.., Xn, > Pn-

En faisant maintenant tour à tour

on obtient successivement les identités

[/?!-. Wl', (P2-0J^, iP )] = 0, ou (pi — Wi', T/Zi) = 0,

[/?! — w/, {p^ — o)^y ipi)] = 0, ou (p, — Wi', ^2) = 0, etc. . . ,

qui démontrent le théorème.

Puisque ipy 'i/Zj, ‘i/za»*** représentent des intégrales de la première des équations (a), il s’ensuit de là que

1/; = const., ipj = const., o/za = const., . . .

sont des intégrales du système des 2w — 4 équations différentielles ordinaires simultanées (^). Mais ce système n’admet que 2w — 4 intégrales distinctes ou indépendantes entre elles, et toutes les autres intégrales du même système en sont des fonctions. Donc si, dans le calcul de la série t|z, i/za,.., on ne rencontre

Imschenetsky: Sur l'intégration des équations

pas de terme qui se réduise à une constante quelconque ou à zéro, on devra alors parvenir nécessairement à un terme 'tjji qui s’exprime en fonction des précédents, et qui pourra, en outre, renfermer ^2 qualité de constante. Supposons que l’on ait ainsi

z= F (0:2, 'ip, 'i/'i,..,

l’indice i ne devant pas, évidemment, surpasser ‘2» — 4.

Il serait inutile de pousser plus loin le calcul de la série précédente, puisque les nouveaux termes ajoutés seraient bien des intégrales de la première équation (a), mais s’exprimeraient tous en fonction des intégrales déjà trouvées; et nous savons a priori qu’une fonction arbitraire d’une ou de plusieurs intégrales d’une équation linéaire aux dérivées partielles est aussi une intégrale de cette équation. En profitant de ce qu’on peut choisir arbitrairement la forme de la fonction des variables a:^, 'tp, qui' satisfait à la première équation (a), on pourra déterminer cette forme de manière qu’elle satisfasse en outre à la seconde équation (a).

Soit 6(a;2* ^1,.., 'fpi-i) la fonction cherchée; en la substi

tuant à la place de dans la seconde équation (a), on voit qu’en vertu de la formule (8) du §. 16 (art. 37), cette équation prend la forme

Bip

ou

L’intégration de cette équation linéaire se ramène à celle du système d’équations différentielles ordinaires simultanées

dx^ d'^ d'éJi dipi-\

1 lpi ^ 'lp2 F(^2y *

qui se réduisent très -simplement à une seule équation différentielle ordinaire de l’ordre i, entre les variables X2 et 1/;,

dx2^

dXi

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch,\,S.2U 101

Si l’on détermine une des intégrales premières de cette équation

et qu’on y substitue les valeurs d^>

’ dx.^

dx.

on aura une intégrale du système précédent d’équations simultanées, tipc^, 1/;, T/;*-!) = const.

Par conséquent, f2=6 = x sera une intégrale commune des équa< tions (a). En posant

A = X = const. = 02,

on en déduira la valeur cherchée de en fonction de pm

Xn, O, Oi, 02, valeur que nous représenterons par

p^ — **^3 (/?4, • • J Pui Xi,..f Xji) O, flj, 02)*

Si, dans le calcul de la suite i//!, rencontre un terme

qui se réduise à une constante, alors la détermination de l’intégrale commune des équations (a) se fera très -simplement. Soit, en effet, y/i = k étant une constante; nous aurons

d’où l’on tire, en intégrant

kx^ = const..

et par suite

z= ipi-i — kx2-

Si k=0, alors

77. La méthode que nous venons d’exposer pour la détermination de l’intégrale commune des équations (a) ne présente plus les imperfections de détail dont nous avons parlé dans la Remarque 1 du §. 18. Cela tient à ce que dans la seconde des équations (a) se trouve la variable X2f qui entre comme constante dans la première de ces équations. Si nous échangions les rôles des deux équations (a), on parviendrait encore aux mêmes conséquences, parce que la première équation contient la variable Xj, qui entre comme constante dans la seconde. En effet, si est

Irnschenetshy: Sur V intégration des équations

une fonction de .rj et de i/;, que nous désignerons par F{x2, ip), on pourra alors prendre pour l’intégrale commune aux équations (a) une intégrale particulière de l’équation

ou une intégrale de l’équation différentielle ordinaire du premier ordre

Lorsqu’une des variables 0:2, ou toutes les deux manquent dans F, il est clair qu’il n’en peut résulter qu’une simplification dans l’intégration de l’équation précédente.

78. En substituant la valeur trouvée = wg dans les fonctions et on obtiendra de nouvelles expressions de pi, p2, que nous désignerons par

ces expressions ne contenant plus que les variables qui entrent dans la valeur de p^»

Pour trouver ensuite l’équation

/s (/^4^ • • > P**’ ^2) const. = 03,

d’où se déduira la valeur de p^ en fonction de Pn, ociu

a, üii 02, on prendra les trois équations simultanées aux dérivées partielles

(y) — — (Pa — «V. /3) = 0. (i>3— "3. =0,

qui, d’après la formule (g), sont de la forme

et l’on en déterminera une intégrale commune f^.

A ces équations il faut encore joindre les identités

aux dérivées 'partielles du premier ordre.

Ch. F, §. 2i. 103

(/) iPi — V) = (/?a —w®'» /?3 — "3) =

{Pz “•"3» /?i—wi")=0,

qui ont lieu en vertu du Théorème IV du §. 17.

Les équations (y) sont de même forme que les équations (a), à cela près qu'elles renferment un moindre nombre de variables; on pourra donc, par la méthode exposée ci-dessus, déterminer une intégrale commune à deux quelconques d’entre elles. Supposons que l’on ait ainsi trouvé une fonction

qui, mise à la place de /s, satisfasse, par exemple, aux deux premières équations (y). Quoique la quantité n’entre pas comme variable dans ces deux équations, elle est toutefois renfermée dans leurs coefficients; nous pouvons donc admettre sa présence dans la fonction <P.

Substituons Q k dans la troisième équation (y); substituons de nouveau le résultat de cette substitution à la place de dans la même équation, et ainsi de suite. Nous obtiendrons de cette manière la suite des fonctions

(Pa— “a. = (Pa— “a. (Pa-^a. 9ic-i) = 0k,.-,

qui seront des intégrales de la première et de la seconde des équations (y).

En effet, d’après le Théorème I du §. 17, en faisant d’abord A =pi^o)i", B =zp^-^o}^, puis A — Wjj', B et

ayant égard à la seconde et à la troisième des identités (yO, il vient

[Pl—Wi", (/?3 — W3, C)]-|-[/?3 OJ3, (C, Pi — W|")] =s 0,

— wa', ipz — o)^, C')] -f [j»3 — W3, (C, ^t?a — "2' )] = 0,

identités qui ont lieu pour toute fonction Cdes variables Xi,.., x„, /?«• En y faisant successivement

C= O, Oi,

et se rappelant que O est une intégrale commune des deux premières équations (y), on obtient cette double série d’identités.

Imschenetsky: Sur l'intégration des équations

[pï —wi". (/?3— "3» <^ )] = 0, ou (/?, ~w,", (Pi) = 0,

(/?3 -ws, 0 )] = 0, ou (;î2— V» ^i) = 0;

[pi — 0)i', (P3 — («3, ^i)] = 0, OU {pi — W|", (P2) = 0,