W2'» ^1)] = 0, OU

qui démontrent la proposition énoncée.

Si la série O, (P], ^2»** terme égal

à une constante on à zéro, on devra alors finir par obtenir un terme qui s’exprime en fonction des précédents, puisque chacune des deux premières équations (y) ne peut être satisfaite que par 2n — 6 intégrales particulières distinctes. Soit Ok ce terme, dans l’expression duquel, outre les quantités (P, (Pj,.., Ok-\, pourra entrer aussi la variable Posons donc

Ok = F(x^, O, (Pi,.., <Pfc-i), k n’étant pas plus grand que 2n — 6.

Puisqu’une fonction arbitraire des variables x^, <P, ^1,.., Ok-i satisfait aux deux premières équations (y), il suffit de déterminer sa forme de manière à satisfaire à la troisième équation (y) ; elle satisfera encore également aux deux premières. Si l’on désigne la fonction cherchée par n, on trouve, pour la déterminer, Téqua* tion linéaire ^

dont l’intégration se ramène au système d’équations simultanées

dx^ dO dOi dOk-^i

ou à l’équation d’ordre k à deux variables

dO

dx^ ' dx^* " ' dx^^

En déterminant une de ses intégrales premières

et y substituant les valeurs

dO

^(^3, O, rf--- ^^,) = const..

dx^ ’

Oa» • • •

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. V, S- 2i. 105

on obtiendra la valeur cherchée

7tz=: (P, (Pi,.., <P*-i)

de la fonction qui satisfait à l’ensemble des équations (y).

Si dans l’égalité Qk= F, l’indice k = lf la fonction F sera de l’une des formes

F(xs, 0)y F (O), F(x^)y F=:const, F

Dans tous ces cas, comme nous l’avons montré dans l’art. 77, la méthode précédente pour la détermiriation de l’intégrale commune des équations (y) ne tombe pas en défant; au contraire, son application se trouve simplifiée.