En posant const. — «3, on tirera de cette équa

tion une expression de en fonction de Ps,.., pn, x^y.., Xn, «, «1, «2» ^3> soit

Par la substitution de cette valeur de p^ dans les fonctions wj", ‘'^3» si l’on désigne par (ùy", cù^', co^' ce que deviennent ces fonctions respectivement, on aura les valeurs

Pi — (Oi'"y p.i — 0)2", Ps — "3'

de pi, p^y p^ exprimées au moyen des mêmes variables que p^.

Pour trouver maintenant l’équation = const. «4, qui doit donner l’expression de p^ en fonction de pQ^.., pm oci,..y Xn, il faudra intégrer le système des quatre équations simultanées linéaires aux dérivées partielles

iPi — wi'". A) =0, (;?2 - «‘i"» A) =

80. Mais l’essence de la méthode a été déjà suffisamment expliquée par les développements que nous avons donnés sur la marche générale de l’intégration des deux systèmes (a) et (y); de sorte qu’il est maintenant très -facile d’étendre l’application de cette méthode au système des quatre équations que nous venons d’écrire, ainsi qu’aux systèmes d’équations suivants. Supposons que de cette manière on ait déjà intégré n~2 systèmes, et qu’il ne reste plus à intégrer que le (w— et dernier. Soient

Imschenetshy: Sur Vintègralion des équations

pn» ^f}) a,

fl (/^2> * • y P^y *^1 » • • > ^Tii u) = üi ,

/ii — 2(pn—lj pn> X\i • • ^ A'n» fln — s) — Un — 2

l’équation donnée et les intégrales des n systèmes déjà intégrés.

D’après la méthode d’intégration précédente, on devra tirer de chacune de ces équations les expressions de chacune des n — l premières quantités de la suite

P\y P^y ' * y Pi^ — Ij Pny Un — 2

en fonction des qui la suivent. En conservant les notations précédentes, représentons ces expressions par

Pi ~ COj, j92 = Pn—1 = COn-l.

Il faudra ensuite porter les valeurs de pn—i> pn-2, . . . • , p^, fournies par les équations du système précédent, en remontant depuis la dernière, dans toutes ces équations jusqu’à la première. En conservant le mode de notation déjà employé, marquons le nombre des substitutions successives, effectuées dans chacune des fonctions wj, en affectant ces fonctions d’un indice su-

périeur correspondant. On aura de cette manière

Pl = Wl(»-2)^ i»2 = 2=W„2', =

pour les expressions de Pi,-.> pn—i au moyen de pm Xn,

Passons maintenant à la détermination de l’équation

fn — li^P'iit Xif**f Xm Uf Uji — 2) — COnst. — Un — 1,

d’où l’on doit tirer pn en fonction de Xi,,.,, Xm u, «i, ..., «n-i»

Pour cela, prenons le système des équations aux dérivées partielles

(Pi A-i) = 0,

(;^2 “-W2("-3), fn-l) = 0,

( Pn-1 — wn— 1 , fn-l) = 0,

lesquelles, en vertu de la formule (^), sont de la forme

aux dérivées partielles du premier ordre*

Ch.V,S.2U 107

dfn—\

dXn dpn

dpn dXn

j df 1

8oj./’‘-3) 8A i

8oJ2^^~^^ dfn—X

dXn dpn

dpn dXn

f dfn-\

dojn—1 dfn—1

\ dXn-l^

dXn dpn

dpn dxn

et déterminons leur intégrale commune fn—i. Les principes de la méthode d’intégration de ces sortes de systèmes d’équations ont été exposés ci-dessus avec détail; c’est pourquoi, dans le cas présent, nous nous bornerons à de courtes explications.

81, On commencera par déterminer une intégrale particulière de l’une des équations (d). Si l’on choisit la première, on devra chercher une des deux intégrales du système d’équations différentielles ordinaires

dæ^ dxn dpn

dpn Bxn

Soit ^ = const. cette intégrale, | étant une fonction des variables pn, Xi, Xn, et pouvant contenir Xn-i comme con-

stantes. Substituons cette fonction à la place de fn—i dans une des autres équations (d), dans la seconde, par exemple, et substituons de nouveau le résultat à la place de fn—i dans la même équation. Nous aurons de cette manière

(p^-OJ^in-S)^ I) ^ ==

Si I' s’exprime en fonction de x^, ^3,...., Xn, l’intégrale commune des deux premières équations (d) sera déterminée comme intégrale de l’équation différentielle ordinaire du premier ordre

di

entre les deux variables ^ et X2> les quantités x^,.., Xn pouvant y être considérées comme des constantes. Dans le cas contraire, s’exprimera nécessairement en fonction de et de x^-» x^,.. .., Xn‘, alors l’intégrale commune cherchée des deux premières équations (d) sera une des deux intégrales premières de l’équation du second ordre

flH

Imschene tsky: Sur mntégralion des équations

entre les deux variables ^ et puisque l’on doit considérer 0:3,...., Xn comme des constantes. En outre, dans le second

membre de l’équation, on devra remplacer par

Soit

= const.

une intégrale de l’une ou de l’autre des deux équations précédentes, et par suite une intégrale commune des deux premières équations (d). Si elle est tirée de l’équation du premier^ ordre (^'), sera une fonction de ^‘3,..» Xn\ si elle est tirée de

l’équation du second ordre (^"), contiendra en plus la dérivée

, qu’il faudra remplacer par la fonction ^ .

Ensuite, pour déterminer une intégrale comniune des trois premières équations (d), formons les fonctions

(iW3 il) = il'> (;’3 -«-3<"-^>> i.o = 11"

Actuellement, ou s’exprimera en fonction de x^ . 3 Xn‘, ou, si non, s’exprimera nécessairement au moyen de li, ^3,..

Xn> Dans le premier cas, on déterminera l’intégrale de l’équation du premier ordre, entre les variables et x^.

dans le second cas, on déterminera une des intégrales pren»ières de l’équation du second ordre, entre les mêmes variables.

t " bl >

dans le second tnembre de laquelle on aura remplacé ^1' par

dê,

Soit

const.

une intégrale de rime ou de l’autre de ces deux équations, et par suite une intégrale commune des trois premières équations (d). Si elle est tirée de l’équation du second ordre, alors dans

la fonction ^2 substituera à la place de

dx^'

De même, au moyen de ^2» déterminera une intégrale comnunie ^3 des quatre premières équations (d); et ainsi de suite. Supposons que, en contirmant ce calcul, nous ayons déterminé

Ch. V, 21. 109

UDe intégrale commune ^«—3 des n —1 premières équations (d) ; pour déterminer enfin une intégrale commune de toutes les équations de ce système, calculons les fonctions

(/?„! -Wra—l, èra-3) = , (/?«-! — Wn-1,

L’intégrale commune cherchée du système d’équations (ô) se trouvera par l’intégration de l’équation du premier ordre

dXn-\ ~ ’

si ^n-3' est une fonction de ^«-3, Xn-\, Xn\ dans le cas contraire, ce sera l’une des deux intégrales premières de l’équation du second ordre

àP‘ln-% ^ „

dXn-X^ ~ ’

OÙ ^n-z' sera nécessairement une fonction de ^«-3, 3 Xn-i,

Xn, dans laquelle on remplacera ^«-3^ par . Il est clair,

en outre, que Xn devra être considéré comme une constante dans les deux équations. Soit donc

fn-i = const. = ün-l

une intégrale de l’une ou de l’autre des deux équations précédentes, et par suite une intégrale commune des équations (d). Si elle est tirée de l’équation du second ordre, on devra alors y

remplacer de nouveau

d'in-Z

dXn-1

par ^n-z'-

82. Après la détermination de l’équation fn—i = Un-is le problème s’achève de la manière suivante. Tirons de cette équation la valeur de pn en fonction de x^,.., Xn, a, Oj,.., an—i, et soit

Pn — - Wft

cette valeur. En la substituant dans les fonctions ojn-\,

que nous désignerons, après la substitution, par nous aurons

{p) p^ z=z Wi(«~l), pn-\ = 0)n-l' , Pv ~ ojn,

pour les expressions des dérivées partielles de la fonction cherchée Z au moyen des variables indépendantes x^ , Xn et des

n — ] constantes arbitraires o, Ces expressions, d’après la méthode même qui a servi à les déterminer, doivent remplir nécessairement les conditions d’intégrabilité de la forme

Imsc fiene ts ky : Sur V intégration des équations

dpi ___ dph

dxk dxi ’

pour toutes les valeurs de i et de k prises dans la suite des nombres 1, 2,.., n. En les substituant donc dans la formule générale de la différentielle de la fonction cbercbée

dz = j)^dxi -{^p^dx^ + . . • + pndxn ,

on aura

dz = Wj dXi -f (juj^dXn-

En intégrant cette équation, on obtient

2 =/(wi(”“Oc?^j + . . • + f^ndxn) + «n,

pour l’expression cherchée de la fonction z des variables indépen- <lantes .Tj,..., Xn, renfermant n constantes arbitraires «j,..., ««; c’est -à* dire pour l’intégrale complète du problème, de laquelle, par la variation des constantes arbitraires, on pourra déduire l’intégrale la plus générale.

83. Nous avons avancé tout à l’heure que les expressions {p) des dérivées partielles d’après la manière même

dont elles ont été trouvées, doivent satisfaire aux conditions d’intégrabilité {q). Démontrons cette proposition.

Les expressions {p) sont tirées du système d’équations H{Xi,.,, Xn, Pi,.., Pn) = «, f l (^1 > • • .» OOfii • • » Pnt O) — Uj ,

P^i*’i Pm fl, <ï|) “ ^2?

fn — 1 (^1 J • • • J Xlfiy Piii fl> On — 2) — (l-n — 1*

En substituant la valeur de a, déterminée par la première équation, dans toutes les autres équations; puis la valeur de u, , déterminée par la seconde équation, dans toutes les suivantes, et éliminant de même les constantes an—‘iy les premiers membres fl, fn—i des équations précédentes deviendront des

fonctions des seules variables Xi, ,,, Xn, pn, et nous les

désignerons respectivement par Hi, Hn-\» Nous aurons

ainsi, au lieu du système précédent, cet autre équivalent

{h) H = a, Hi = «1 , = a^i • . , Hn—\ fifn—i*

11 est évident que du système {h) on déduira les mêmes va-

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. F, §. 21, 111

leurs de pi,,., pn que du système (/’); donc, en vertu du Théorème 11 du §. 17, il suffira de démontrer que les premiers membres des équations {h) vérifient identiquement la condition

(a) Hk) ~ 0,

pour toutes les valeurs 0, 1,.., n — \ attribuées aux indices i et k: alors la proposition en question sera établie.

84. Démontrons d’abord que les premiers membres des équa« -tions (/’) vérifient identiquement la condition

(6) {fu fk) = 0,

pour les mêmes valeurs de i et de k, en supposant en outre

En effet, les n — 1 systèmes d’équations simultanées, dont l’intégration nous a fourni les équations (/*), sont, comme nous l’avons vu, des conséquences immédiates des w — 1 autres systèmes d’équations simultanées données au §. 20, et dont le type général est

(c) (pi-pi — ojî-pi, pk^i — = 0,

ou, en supposant i<,k,

8wj.pi m=^l gw^pi d(Ok-\-l

dxk-^l m=i+2 ^Pm

^ m=k-t-2 \ ^Pm ^pm ^Xm J ~

Par conséquent, les intégrales des deux systèmes en question sont fournies par les mêmes équations (/*). En prenant donc, parmi ces dernières, deux équations

Xm Pi-\-y.3»*> Pns, ttj— i) ili,

fk{Xi,.., Xn> Pk^l,,*, Pn, «!,..> ak-l) =: ük,

et tirant de la première la valeur de pi^\ en fonction de pi-\.2,,.

Pn, Xi,,., Xn, et de la seconde la valeur de pk^i en fonction de pk^2,»*, Pn, ^1».., Xn‘, si l’on désigne ces valeurs respectivement par

/îi+l = wi-f 1 , pk^l = wfc-pi,

la substitution de ces valeurs des fonctions wjq-i, ^A-fi réduira l’équation (c*) à une identité. Or il est aisé de voir que cette

Imschenetshy: Sur V intégration des équations

dernière n’est autre chose que l’équation (6) écrite sous une autre forme. En effet, si l’on met dans l’équation fi— ai la valeur pi^i — oji^i, et dans l’équation fk == ak la valeur pk+i = on

changera ces équations en identités. En désignant donc par t une des variables qui entrent dans oji^i et dans «ojt-i-i, et différentiant les identités en question par rapport à cette variable, il vient

dfi 0wi-fl __ ^fk ^

cpi^i dt ~ dt’ dpk+i dt

Si donc on multiplie l’égalité (c) par

dfi Bfk dpi-i-i dpk^i

on trouve

iâ M. . “F ^ = 0.

mz=i^l dpm dXm ni—k-^l \dXm Bpm Bpm BXm)

Or cette dernière équation n’est autre chose que le développement de la condition qui était écrite symboliquement sous la forme (6).

85. Enfin, pour démontrer que les conditions (a) sont satisfaites dès que les conditions (6) le sont, il suffit de remarquer que les premières s’expriment sous forme linéaire au moyen des secondes. En effet, d’après ce que nous avons expliqué plus haut sur le passage des équations {f) aux équations {h), on a

Hi —fi{Xi,.., Xn, Pny H, Hi-l),

Hk — fkipCi,,,, Xn, Pm H, Hk-l).

Cette remarque faite, démontrons d’abord qu’une expression de la forme {fi, Hk) s’exprime sous forme linéaire au moyen des fonctions qui forment les premiers membres des équations {b). Car, d’après la formule (8) du §. 16, on a

Ui> m = (fi, (fi, Hw)

où l’on suppose évidemment k' <i,k.

En appliquant la même formule au développement de {fu H k’)» nous l’exprimerons au moyen de {fûfk') et de {fi, Hk"), où kf' <^k\ En continuant de la sorte nous exprimerons finalement [fi, Hk\ sous forme linéaire, au moyen de

ifi, fk), {fi, fk^ {fi, fk^),^., {fi. fo) = (fi. H),

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch, V, §. 2i. 113

et comme, en vertu de (6), ces dernières quantités sont identiquement nulles, il s’ensuit de là que

(d) [fi, =

pour toutes les valeurs 0, 1, 2,.., n — 1 des indices i et k.

De plus, en vertu de la formule (5) du §. 16, on a

(Hi, Hk) = (fi, fk) + ^ {fu HkO^'

fc'=0 '

Or, en vertu des équations (6) et (d) , les trois premiers termes du second membre de l’équation précédente se réduisent à zéro; par conséquent, (Hi, Hk) s’exprime linéairement au moyen des symboles {Hif, Hk>)> dans lesquels k! <^k. En continuant

ainsi, on exprimera finalement {Hi, Hk) sous forme linéaire au moyen des expressions qui forment les premiers membres des égalités (6) et (jl), et qui sont identiquement nulles. On a, par conséquent,

{Hu Hk) = 0

pour toutes les valeurs de i et de k prises dans la suite des nombres 0, 1, 2,.., n — 1.

86. Le mode de démonstration qui vient de nous servir pour établir le théorème précédent, peut s’employer absolument de même pour faire voir que, si toutes les fonctions qui forment les premiers membres des équations (/*), prises deux à deux, vérifient ridentité

' {fu fk) = 0,

cette identité subsistera lorsqu’on remplacera, dans l’une des fonctions fi, fk, ou dans toutes les deux, une ou plusieurs des constantes arbitraires qui y entrent par les fonctions qui leur sont égales en vertu des équations (/’); ou, plus généralement, cette identité subsistera , quelque transformation que l’on ait fait subir aux fonctions fi, fk en vertu des équations (/*).

87. Pour apprécier la valeur théorique de la méthode d’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre que nous venons d’exposer, on ne peut pas se dispenser de prendre

Imschenetshy: Sur V intégration des équations

en considération la question suivante: Combien y a-t-il en tout d’intégrations à effectuer pour obtenir l’intégrale complète, dans le cas de n variables indépendantes, quand la fonction inconnue, qui en dépend, n’entre dans l’équation donnée que par ses dérivées partielles du premier ordre?

La méthode de Jacobi conduit successivement à différents systèmes d’équations simultanées de la forme

dy du

F{x, y,,., ti) ~ f{x, y,.,, ü) ~ . cp{x, y,.., u)"

dans lesquels le nombre des variables x, y,.,., u s’abaisse graduellement; et elle n’exige pas l’intégration complète de ces équations, mais seulement la détermination d’une intégrale de chaque système. En général, la difficulté de satisfaire à cette condition dépend de l’ordre de l’équation à intégrer, lequel se détermine d’après le nombre des constantes arbitraires introduites par l’intégration complète d’un système de la forme (a:), et par suite est égal au nombre des variables x, u, diminué d’une unité.

Les systèmes de la forme («), qui se rencontrent dans la méthode de Jacobi, se divisent en principaux et auxiliaires. Les premiers sont chacun d’un ordre complètement déterminé, non susceptible d’abaissement, tandis que, pour les seconds, on ne peut indiquer d’avance que la limite supérieure à laquelle leur ordre peut s’élever.

Pour faire comprendre la distinction entre les systèmes principaux et les systèmes auxiliaires, il suffit de montrer un système appartenant à chacune de ces deux classes. Dans le paragraphe précédent, nous avons vu, par exemple, que, pour déterminer la fonction /2> devait satisfaire simultanément aux deux équations

(«) (Pi — "i'. /à) = (Pa— ^'"2. U) ~ 0,

il fallait quations

trouver une des

intégrales de l’un des

systèmes d’é-

dxi

efl

dpn