CO I

do)i ' B(/Ji '

^Pî

dpn

8xn

dx2

dxn dp^

dpn

doj2

dp„ 8x3

ÔW2

dx„

qui sont

chacun de l’ordre

n — 4, cet ordre ne

pouvant être

flux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. r, S. 22. lU

abaissé. Ce système et les systèmes analogues sont dits principaux.

Lorsqu’on a trouvé une intégrale ç)=const. de l’un des systèmes (6), du premier par exemple, on obtient alors, en substituant cette intégrale dans la seconde équation (a), une série d’intégrales du premier système (6),

qj = const., qjj = const.,.., = const., . . .

Mais comme le nombre des intégrales distinctes qu’admet ce système est égal à son ordre 2??, — 4, il faudra nécessairement que, dans la série q?, q?i,.., on rencontre une fonction qui s’exprime au moyen des précédentes. Supposons que g)i soit la première qui soit dans ce cas; son indice ^ ne devra pas surpasser 2w — 4* Nous pourrons alors écrire immédiatement le système d’équations , dx2 dcp dcpi-i

( C) — jj — — . . . — - — ,

1 (Pi cpi

qui sera de l’ordre i, et dont une des intégrales sera la valeur cherchée de /jj.

Le système (c) est dit auxiliaire; tout ce que l’on sait sur ce système, c’est que son ordre i ne peut pas être plus élevé que l’ordre %i — ^4 des équations principales correspondantes (6). Mais il est clair que l’ordre de ce système peut être inférieur à cette limite, et qu’il doit varier généralement, quand, au lieu de l’intégrale q) = const., on prend une autre intégrale du premier système (6), ou bien une intégrale du second système (6).

88. D’après ce que nous venons d’expliquer, il est maintenant facile de répondre à la question posée au commencement de l’art, précédent, en nous plaçant dans le cas le plus désavantageux, c’est-à-dire dans celui où tous les systèmes auxiliaires sont de l’ordre le plus élevé possible.

Dans ce cas, d’après ce qui a été vu au paragraphe précédent, la méthode de Jacobi exige la détermination d’une seule

intégrale de chacun des ^ systèmes d’équations, dont il y a

] de l’ordre 2w — 2, servant à déterminer la fonction f\.

i 2/1 — 2i, fi,

Imsc henetshy: Sur Vintégration des èqualions

Remarquons d’ailleurs que le cas le plus défavorable, supposé dans ce tableau, ne se rencontre pas d’ordinaire dans les applications, l’ordre des équations auxiliaires étant le plus souvent moindre que la limite supérieure. Pour ce qui est du nombre

fl {il — “ 1 )

total ^ des intégrales exigées, lequel, étant un nombre

triangulaire, croît assez rapidement avec le nombre n des variables indépendantes, on peut faire à ce sujet les remarques suivantes. Le problème qui nous occupe est, par sa nature même, indéterminé, et la théorie de Jacobi présente, à chaque phase du développement du calcul, une latitude considérable dans le choix de l’équation dont on doit déterminer une intégrale pour faire faire au calcul du problème un pas en avant. D’après cela, dans un grand nombre de cas, on peut choisir des équations dont les intégrales se présentent d’une manière évidente ; de sorte que

le total général y jj des intégrations se réduit à un nombre

beaucoup moindre d’intégrations à effectuer réellement.

89. Pour montrer une application de la méthode de Jacobi sous la forme exposée dans le paragraphe précédent, et pour donner en même temps un exemple des simplifications que nous venons d’indiquer, traitons encore un cas particulier.

Soit l’équation du premier ordre

aux dérivées partielles de la fonction z des variables indépendantes t, U, V, w, y.

Introduisons les notations

dz Sz dz

dz

et tirons de l’équation proposée la valeur de ou pi^ que nous représenterons par w, . Nous auroi»s

aux dérivées partielles du premier ordre*

Ch.\,$.22. 117

Pour obtenir les quatre équations

A(P2» Ps» P4> Pô» «!»••» ^ô) = «1»

P4» Pô» "^l»**» ^’ô» ®l) ~ ®2»

fs^P^* Pô» ^1»**> ^ô» ®1» ^2) ^3»

/^(Pô» ^l»**» ^ô» ®l» ®2» ^3) ^4»

(«1,.., «4 désignant des constantes arbitraires), qui, jointes à la proposée, doivent fournir les valeurs de Pi,.., Ps pour lesquelles Pidxi + ... p^dx^ deviendra une différentielle exacte, il faut, d’après la théorie que nous avons exposée procéder comme il suit:

On déterminera la fonction fi comme intégrale particulière de l’équation linéaire

{pi—«n, fi) = 0,

c’est-à-dire comme intégrale du système d’équations différentielles ordinaires

dxi dx2 __ dx^ ^2 dp^

1 doji * ’ * 9wj ôwj * ” ôwj

dp2 Sps ^^2

au moyen desquelles on trouve

7 d{p2—pz) d{p2—pz)

dx2 Bx^

ce qui donne immédiatement, en intégrant, fl = (P2-P3)e\ = a,.

En tirant de là la valeur de p2* que nous désignerons par wj, et la portant dans l’expression de oj^ , qui devient après la substitution ojj', il viendra

P2 = P3 + = W2» Pi = w/.

La fonction devra être déterminée comme intégrale particulière des équations linéaires simultanées

(P2 — ‘'^2> A)— 0, (Pi— w/, f2) — 0.

L’intégration de la première de ces équations se déduit du système d’équations

Imschenetshy : Sur V intégration des équations

dxs

dX4

dx^

dp4

— JT!l

Bo^2

~ Sps

Bxa

Bx4

L’équation

àpz B(^ ^

(1^2 ~~ Bx^ ~

donne l’intégrale

(p = = const.

En la substituant à dans la seconde des équations linéaires précédentes, il vient

Or = 0; donc

Boji' Boji Bojy

Boj2

(Pi 9^1 — 0^^ 0^.^ + 0^^^ 0^^*

(Pi=z— 2/?3 — 5/?3 = — 7g) —

Donc, en vertu du paragraphe précédent, la valeur cherchée de la fonction ^ s’obtiendra comme intégrale de l’équation

+ 795 + -ia, e-^i = 0,

et l’on aura

Tirant de là l’expression de p^=oj^^ et la substituant dans oji', que nous désignerons, après la substitution, par oji", nous aurons

Pz = 026-^^^ — 0)3, p2= C02, Pi = û)/'.

La fonction devra être déterminée comme intégrale des équations linéaires simultanées

iPi — fz) = 0, {p2 - 002, /s) = 0, {pi — w/', Q = 0.

L’intégration de la première de ces équations se ramène à celle du système d’équations

dx^ dx^ dx^ __ dp il dp^

1 Bcog Bcûs ~~ Bcùs ~~ Bcû^

Bp^ Bp^ Bx4 Bxq

aux dérivées partielles du premier ordre.

Cil. V, S. 22. 119

L’équation = 0 donne l’intégrale

i]) ■=. — const.

En la substituant dans la seconde des équations linéaires précédentes, on trouve identiquement

En substituant 'tfj au lieu de dans la troisième de ces mêmes équations, il vient

(Pi - «i". f)

dXa.

. ^«2 a cause de ô —

dco^

0, i^=0; d’où

Pb-

En substituant

maintenant ipi à dans la même équation, il vient

dcûj

(Pl—C0l> '^l) = '*^2 = — -0— = - ~ -P3)P5 i-

pji

‘.— aie

lpj2

Par conséquent, la fonction cherchée /"^ s’obtient comme intégrale première de l’équation du second ordre

dtfj 1 /dip Ÿ rk dxi^^ ^ dxi '\\)\dxi)

Si l’on multiplie le premier membre de cette équation par le facteur dxi : f on le transforme en une différentielle exacte, dont l’inté-

grale donne une intégrale première de l’équation, et par suite on a la valeur

fs = *og d'IP

dltp

dxi

— üie-^n = const.

En y remplaçant par 'ipi, on trouve

^3 = log ^ — = log ( —

Tirons de la valeur p^ — a^, et substituons -la dans Wi", qui devient alors cof". On a

Imscfienetsky: Sur l’intégration des équations

= e- <iomt.—aie .p^ ~ «36“®!® ** . = W4.

Ps = «3> Pa = «a» Pi — “i'"*

On déterminera la fonction comme intégrale commune des équations linéaires simultanées

iPi — «4, f^) = 0, (/73 — W3, f^) = 0,

L’intégration de la première de ces équations dépend du système

dxj^ dx^ dp^

dont une des équations

dp& (J

dx/^ 0^5

a pour intégrale

6 — p^z=. const.

Substituant cette expression au lieu de dans les autres équations linéaires, les résultats de la substitution dans la seconde et dans la troisième se réduisent identiquement à zéro, et la quatrième donne

= — a.e-^^e ‘.0 = Bt.

• Donc la valeur de A ®cra déterminée comme intégrale de l’équation

Xfl I

d’où l’on conclut

A = log^ — «iC*"*! -| / c®ï® * dxi = const.

dzJ

De là résulte P5

= «4^6®!® dx^

et par suite

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. V, $, 22. 121

on a, de plus,

et enfin

Pi ~ — 7 (^2 H" '^3) ^ (2^72 ^3) 6

En substituant ces valeurs de pi,,..., p^ dans l’expression Pidxx p^dx^, on devra obtenir une différentielle exacte; et

en effet, en intégrant cette expression, on trouve l’intégrale complète du problème sous la forme

+ «4 ^«3^4 + H|- const.

Nous nous bornerons ici à cet exemple simple, d’autant que, dans ce qui va suivre, nous considérerons l’application des principes contenus dans la théorie de Jacob i à des questions plus générales, dont les exemples particuliers conduiront à employer les mêmes méthodes d’intégration.

Cîiapître VI.

Intégration des équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre.

90. La méthode que nous avons exposée ramène le problème de l’intégration d’une équation quelconque aux dérivées partielles du premier ordre à l’intégration de plusieurs systèmes,

Imschenetshy: Sur V intégration des équations

de forme particulière, d’équations linéaires simultanées aux dérivées partielles du premier ordre, compatibles entre elles. Jacobi ne s’est pas occupé de la question générale de l’intégration de plusieurs équations simultanées aux dérivées partielles du prenïier ordre et de forme quelconque; mais il s’est borné au cas particulier qu’il a rencontré, et dans lequel, suivant la remarque qu’il a faite (N o v a m e t h o d u s, §. 18), on peut employer pour les intégrations une méthode artilicielle, fondée principalement sur le Théorème 1 du §. 17. Et cependant il ne restait que peu de chose à ajouter pour arriver à la solution complète de la question générale. Bour a montré, en effet, dans son Mémoire ,,Sur l’intégration des équations différentielles partielles du premier et du second ordre^‘ (Journal de l’Ecole Polytech- | nique, 39® Cahier), que l’intégration des équations simultanées de forme quelconque aux dérivées partielles du premier ordre se ' ramène très -simplement à l’intégration d’équations simultanées de la forme de celles auxquelles Jacobi a limité ses recherches.

Pour envisager d’un point de vue commun les question de I l’intégration d’une ou de plusieurs équations aux dérivées partielles! du premier ordre, revenons en quelques mots sur la signitication primitive du premier de ces deux problèmes, lequel, d’après son; { étendue, forme un cas particulier du second, tandis que, d’après la J méthode de résolution, le second est renfermé comme cas plus’ s simple dans le premier. | ri

91. Une fonction inconnue z des variables indépendantes; ari,.., Xn peut être déterminée, lorsqu’on donne les expressions de toutes ses dérivées partielles du premier ordre d

dz dz ! P'

en fonction des variables indépendantes Xi,,., Xn> Pour cela, il faut seulement s’assurer que les expressions données de conviennent aux dérivées partielles d’une même fonction, c’est-à- : dire qu’elles satisfont aux conditions

8pi

^ ' dxk dxi*

pour toutes les valeurs de ^ et de k prises dans la série I, 2,.., n.

Dans le cas où ces conditions sont satisfaites, la fonction z s’obtient en intégrant l’expression de sa différentielle

Pidxi \p2Ax2, + . . . + pndxif

Ch. F/, 23. 123

. 92. Si, au lieu des valeurs explicites de Pi».., pm ©n fonc-

^ tion <les variables indépendantes, on donne n équations

rj (3) £^=.0,

^ dont les premiers membres sont des fonctions de oci,.., Pivj pn^ ^ il existe alors des caractères analytiques généraux pour recon- I naître si l’on peut résoudre algébriquement ces équations par I rapport aux ii inconnues Pi,.., pn, et si les expressions de ces ^ quantités vérifient les conditions (l).

8i une ou plusieurs des fonctions H, Hi,.., Hn-x sont exprimables au moyen des autres et des variables Xn.., Xm alors ou les équations (3) sont insuffisantes pour la détermination des inconnues pi,..., pn, ou elles sont contradictoires. Supposons, en effet, que l’on ait

Hi=z (p{Xi,.., Xn> H, Hi,.,).

En vertu des équations données, nous aurons

Hi" q){x^,.., Xn, 0, 0, . . .) = 0.

Si cette relation est identique, il faudra alors supprimer une unité du nombre des équations données, qui deviennent alors insuffisantes pour la détermination des n inconnues p^..., pn. Si la relation (p = 0 n’est pas identique, alors elle contredit l’hypothèse de l’indépendance des variables Xi,.., Xn>

Nous avons établi plus haut (§. 3) le caractère analytique indiqué par Jacobi, et d’après lequel on peut toujours juger si parmi les fonctions Hn—\ il s’en trouve quelqu’une qui soit

I dans le cas de celle que nous désignions tout à l’heure par Ht.

Pour cela, en considérant Hn—x comme des fonctions des

I seules variables pi,..., p», on formera le déterminant fonctionnel

1 ^JL ^JL

1 ^Px ^Pn

dfln-x

0pi ’ * * dpn

Si ^ se réduit identiquement à zéro, alors une ou plusieurs des équations = //„i = 0 sont contradictoires avec les

autres, ou bien identiques avec les autres.

93. Mais supposons que A n© soit ])as nul ; alors se juésente

Imsc henetsky : Sur V intégration des équations

cette seconde question: les expressions de /?«, tirées des

équations (3), satisfont-elles aux conditions (1)?

Supposons que les valeurs de pi,.., pn, tirées des équations (3), vérifient les conditions (1). En remettant ces valeurs à la place de pn dans les équations (3), on changera celles-ci

en identités. Si l’on prend deux des identités ainsi obtenues,

et qu’on les traite exactement comme nous avons traité, au §«11, les identités

Fi —ai, Fk—aky

nous en conclurons de la même manière que les fonctions Hi, Hk doivent satisfaire à la condition

(5) {Hi, Hk) = 0,

pour toutes les valenrs 0, 1,.., n — î des indices ^ et k.

Réciproquement, si les conditions (5) sont satisfaites, alors, en vertu du Théorème II du §. 17, nous en conclurons que les expressions depi,,., pn, tirées des équations (3), satisfont à la condition (i); par conséquent, il n’y aura qu’à les substituer dans l’expression (2), dont l’intégration donnera la fonction 2

94. Remarquons que les conditions (5) peuvent être satisfaites ou identiquement , ou en vertu de quelques-unes des équations données (3). Dans le premier cas, il est évident qu’au lieu des équations données (3) on aurait pu prendre des équations plus générales, eu écrivant dans leurs seconds membres des constantes arbitraires à la place de zéro. Dans le second cas, on ne pourra généraliser de cette manière que celles des équations (3) qui n’auront pas été prises en considération pour la vérification des équations (5).