La question précédente, qui est entièrement déterminée
*) Bonr, dans son Mémoire cite j)his haut, donne constamment à ia condition (5) le nom de Théorème de Lion ville, et ajoute même que ce géomètre à démontré ce théorème dans le cours qu’il a professé en 1853 au Collège de France. IFantre part, dans le Mémoire de Donltin: ,, Ou a class of diirerential Equations, etc publié dans les P h i 1 O s O P h t c a l l' r a u s a c t i o n s (1854, Part 1), nous trouvons ce même théorème ('rheorem 12, p. 83) mentionné (p. 71) parmi les résultats notneaux obtenus par rAntenr.
aux dérivées partielles du premier ordre. Ch, VI, §. 23, 125
devient indéterminée si, au lieu du système complet des n équations (3), on n’a qu’un système incomplet de m équations entre les dérivées partielles du premier ordre, en supposant m<^n. Le cas de m =: 1 constitue le problème de l’intégration d’une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre. Nous avons vu plus haut que la solution de ce problème, considéré au point de vue théorique, est toujours possible, c’est-à-dire que, étant donnée l’équation
entre les variables Xm Pi,-.», pn, on peut toujours déter-
miner n — 1 autres équations entre les mêmes variables,
Ui = const. = Oi,.,, Hn-\ = const. = «n-i, dont les premiers membres satisfassent à la condition
{Hi, Hk) = 0,
pour toutes les valeurs 0, 1,.., n — 1 des indices i et k.
Si l’on suppose maintenant que le nombre m des équations données aux dérivées partielles du premier ordre soit plus grand que l’unité, on arrive alors à la question de l’intégration simultanée de plusieurs équations aux dérivées partielles du premier ordre. Il est facile de voir que, pour un même nombre de variables indépendantes, non-seulement ce nouveau problème n’est pas plus compliqué que le premier, mais encore il est plus simple; et que la théorie de la résolution du second problème découle tout naturellement de la méthode de résolution du premier.
I 96. La différence essentielle entre les deux questions con- 1 siste en ce que, dans le cas d’une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre, l’intégration est toujours possible, et que la théorie générale de cette intégration ne limite en rien le choix de l’équation proposée; tandis que, dans le cas où l’on donne plusieurs équations aux dérivées partielles du premier ordre, elles n’admettent une intégrale commune que lorsqu’elles remplissent certaines conditions.
■ En effet, si l’on choisit arbitrairement m équations
[I entre les variables Xi,..., Xn, Pi».-., pn, il pourra exister entre ^ elles deux sortes de cas d’incompatibilité: incompatibilité algér brique et incompatibilité d’intégration. Le premier cas a lieu,
126 Jmschenetsky: Sur VinlègralUm des équations
lorsqu’une ou plusieurs des fonctions Hm s’expriment en
fonction des autres et des variables Xn\ alors une ou plu-
sieurs des équations (6) ou seront des identités, ou seront contradictoires avec les autres.
Si les équations données ne sont pas affectées de cette cause d’incompatibilité, il faut encore s’assurer si elles appartiennent à un système de n équations d’où l’on puisse tirer pour pi,..., des valeurs vérifiant les conditions (1); c’est-à-dire s’assurer s’il est possible d’obtenir une intégrale satisfaisant simultanément aux équations données. Pour cela, il n’y aura qu’à examiner si, pour toutes les valeurs 1, 2,.., m des indices i et les conditions
(7) {Bu Hk) = 0
peuvent être satisfaites et de quelle manière elles peuvent l’être.
97. Si les équations (7) sont satisfaites soit identiquement, soit en vertu des équations données (6), alors l’intégrale qui satisfait à chacune de ces dernières, et qui renferme dans son expression, outre les variables indépendantes, n — constantes
arbitraires, se trouvera par les procédés que nous avons exposés en traitant de l’intégration d’une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre. En effet, pour résoudre le problème de cette manière, il suffira de compléter le système donné par n — m équations
(8) /im+l — const. = «1 , //m+2 = COnst. = «25 * • • 5
Hn = const. = an-m ,
dont les premiers membres représentent des fonctions indépendantes entre elles de Xi,.., Xn, pn, lesquelles devront être
déterminées de manière à satisfaire à la condition
{Hi, Hk) == 0,
pour toutes les valeurs ^=l, 2,.., n, et ^ = ?n-f2,.., n.
D’après cela, la fonction Hm^i peut être déterminée par la méthode exposée au §. 18, comme intégrale commune du système des in équations linéaires
(//i, /7^+i) = 0, (74, 77„hi) = 0,.., {Hmy ^m+l) = 0.
On déterminera de la même manière les premiers membres des autres équations (8); et ces équations, jointes aux équations données, feront connaître les valeurs de pi,..., pm lesquelles renfermeront n — m constantes arbitraires. Par suite, l’intégrale cherchée Z contiendra n ~ in -f- 1 constantes arbitraires.
aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. Vl, $. 23. 127
98. Si la méthode précédente se trouve inapplicable (dans les circonstances indiquées dans les Remarques du §. 18, art. 49 et 51), ou si, pour d’autres motifs, on veut ramener les équations qu’il faut intégrer à contenir le moindre nombre possible de variables; on exprimera alors, à l’aide des équations (6), pi,.., pm ©n fonction de pn, Xi,..» Xn- Soient
Pi = p-i = Pm= Cûm
les expressions trouvées.
Observons qu’en vertu du Théorème Ht (§. 17) on doit avoir les identités
(9) (pi — (au pk—tok) ~ 0,
pour toutes les valeurs 1, 2,.., m des indices i et k.
Pour déterminer ensuite l’équation
fl (pm-\-l» • ‘ 3 Pîij Xif . . J Xji) — • COnst. — flj ,
qui doit fournir la valeur pm-\-i= (am+i» représentant une
fonction de pm x^,.., Xn, «i)j formons le système des
m équations linéaires simultanées
(Pl — , /i ) = 0, ( P2, (^29 fl) — 0,.., (pm (Onii fl) = fli
OÙ le nombre des variables est 2 (n — m) T 1* Leur intégrale commune pourra se trouver, à l’aide des identités (9), par la méthode exposée au §. 21.
Ayant déterminé la valeur = substituons -la dans
les fonctions Wj,.., com', en désignant par coi,.., com ce que deviendront ces fonctions après la substitution, nous formerons le système des m-|-l équations linéaires simultanées
(/?! — wi', Q = 0, (p2-(a.2, /i) == 0,..,
(pm — COm' 9 fz) — Cû/n-|-i, f2) ~ 0,
entre 2(n — m)—l variables. Leur intégrale commune /2 donnera l’équation
/2(p/n-f-2, . . J Xi,,.f Xn9 (^l) ~ COnst. —
d’où l’on tirera la valeur de /îm-|-2. Et ainsi de suite.
99. De cette manière, dans la détermination successive des n — m intégrales demandées
/l — /îa — f n—m ~ On— //I,
Imschenetsky: Sur V intégration des équations
le nombre des équations linéaires simultanées va en augmentant chaque fois d’une unité, tandis que le nombre des variables qui y entrent va en diminuant de deux unités. Il est évident qu’en procédant ainsi, l’intégrale commune des équations (6) que l’on obtiendra renfermera dans son expression un nombre de constantes arbitraires égal au nombre des variables indépendantes, moins le nombre des équations données diminué de Tunité, c’est-à-dire égal à n — m 4- 1.
Une telle intégrale commune des équations (6) peut être appelée l’intégrale complète. On peut former par son moyen l’intégrale la plus générale, renfermant une fonction arbitraire de n — m quantités variables, en se servant de la variation des constantes arbitraires (§§.2—4).
On voit, par ce qui précède, que Tintégration des m équations simultanées (6), qui satisfont aux conditions (7), se fait en opérant exactement comme lorsqu’on veut achever l’intégration d’une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre
après avoir déjà trouvé, au moyen de cette équation, les m — 1 équations
satisfaisant aux conditions (7), et qu’on demande de déterminer encore les n — m équations restantes
= Uj,..., Hfi = ttn—m*
A ce point de vue, il est clair que le problème de l’intégration simultanée de plusieurs équations est plus simple que le problème de l’intégration d’une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre, pour un même nombre de variables indépendantes, puisque le premier n’exige qu’une partie des calculs nécessaires pour la solution du second.
100. Examinons maintenant dans quels cas les équations proposées (6) sont incompatibles au point de vue de l’intégration, c’est-à-dire n’admettent pas d’intégrale commune; dans quelles circonstances il peut rester de l’incertitude sur leur compatibilité, et comment on doit procéder alors pour obtenir la solution la plus complète (c’est-à-dire renfermant le plus grand nombre possible de constantes arbitraires), si cette solution est possible.
Les équations (6) sont Incompatibles, si les conditions (7) ne
aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. Vf, §. 23. \ 29
peuvent être satisfaites ni identiquement, ni en vertu des équations données, ni en vertu des n — m équations qui sont encore inconnues et qu’il faudrait trouver pour compléter le système donné (6). Ce cas aura lieu évidemment lorsqu’une ou plusieurs des expressions {Hu Hk)i qui entrent dans les conditions (7), se réduiront à des constantes quelconques différentes de zéro, ou à des fonctions de^r^,.., XnyHi,.., Hm> ne s’annulant pas en vertu des équations données.
Mais si quelques-unes des expressions qui entrent dans les conditions (7) sont de la forme
Jtik) = Hk’) — Hm{-h
Hm^i désignant des fonctions qui renferment non -seulement Xif.., Xn, Hnii mais encore pn, et qui ne
s’annulent pas en vertu des équations données (6); alors on n’a plus le droit d’affirmer que les équations données soient incompatibles; car les fonctions Hm\\, Hm\^i peuvent s’annuler en
vertu de quelques-unes des n — m équations, encore inconnues, qui doivent compléter le système donné (6).
Pour qu’il en soit effectivement ainsi, il suffit d’admettre que les équations
fassent partie des n~m équations inconnues. Or, en ajoutant de cette manière au système donné (6) l nouvelles équations, il faudra soumettre celles-ci à la même épreuve à laquelle on a dû soumettre les premières, c’est-à-dire examiner de quelle manière on peut satisfaire aux conditions
(Hi, Hk) - 0
pour les indices ^ = l, 2,.., r/i -f /, et ^ = m +
101. Le calcul des expressions qui entrent dans ces conditions forme la partie laborieuse de la méthode que nous exposons; par conséquent, il n’est pas inutile de remarquer que le Théorème I du §. 17 peut épargner une partie notable de ce calcul. Si l’on désigne par j un des nombres 1, 2,.., ?//,, on a, en vertu de ce théorème,
(/4 {Hi, ih)] = -\JJî, (fh, rjj)]-[!h, (fJj,
par conséquent, si, dans la vérification des conditions (7), on a déjà trouvé {Uk, Uj) = 0y (/Jj, /li) = 0, il est évident, sans nouveau calcul, que l’on aura aussi
130 Imschenetshy: Sur Pintèpratîon des équations
{Hjy = 0.
102. Supposons qu’en appliquant une ou plusieurs fois le ‘ procédé que nous venons d’indiquer, on ait ajouté au système ‘ donné (6) un certain nombre r d’équations. On devra se trouver ‘
alors dans un des trois cas suivants: ‘
1^. Le nombre -f r est égal à w, et les conditions I {Hi, Hk)~^ ne sont pas encore satisfaites pour toutes les valeurs I 1, 2,.., m-J-r des indices i et k. Alors les équations proposées : (6) ne pourront avoir une intégrale commune. f
2®. Le nombre m -f r est moindre que w; mais une ou plusieurs des expressions qui entrent dans les conditions précédentes y se réduisent à des constantes ou à des fonctions de Xi,...., Xn, ^ Hy,.., Hm^r, différentes de zéro. Alors les équations proposées j sont encore incompatibles.
3^. Le nombre m-fr n’est pas plus grand que n, et toutes les conditions précédentes sont satisfaites. Alors, par la méthode i exposée plus haut, on pourra déterminer une intégrale commune ^ des équations (6), renfermant n — -m — r-f 1 constantes arbitraires. ,
103. Après l’aperçu que nous venons de donner et qui ren- ^ ferme la théorie générale de la résolution des problèmes déter» ^ minés et indéterminés aux dérivées partielles du premier ordre,
il reste encore à compléter cette théorie par quelques remarques et à l’éclaircir par des exemples, ^
Nous avons considéré les équations aux dérivées partielles du c premier ordre avec une certaine restriction dans leur forme, savoir, en supposant que la fonction inconnue z n’entrait pas dans ces équations par elle- même, mais seulement par ses dérivées partielles /?!>.•» pn- Si la fonction z entre elle-même dans les équa- i di tions proposées, ce cas pourra se ramener au précédent, au moyen n de la transformation indiquée au §. 14. En effet, si l’on met l’in- re tégrale z sous la forme d’une fonction implicite donnée par l’é® quation
(a) Y{xi,.., Xn, z) = I
ce
et qu’on différentie cette équation, il vient j M
dY ;
dxm qm dY dY \
(b) pm — - ^ — — ^„+i’ ®" î'"* — 9n41 — gj -Ij
dz i *
aux dérivées partielles du premier ordre.
CiuVI, 131
j La substitution des valeurs de pm, pour m=l, 2,...., n, { dans les équations données ramènera celles “ ci à une forme telle, j qu’elles renfermeront les variables indépendantes Æq,.., Xn,
Z, et les dérivées partielles qn, de la fonction F, la-
quelle n’entrera pas elle-même dans ces équations. Lorsqu’on aura obtenu une intégrale des équations transformées, alors, en rejetant la constante qui y entre par simple addition et égalant cette intégrale à zéro, on aura une équation qui donnera une valeur de 2 satisfaisant aux équations non transformées, d’après ce qui a été démontré à la fin du §. 14,
104. Comme exemple d’application du théorème de Liouville ou de Donkin à des problèmes déterminés aux dérivées partielles du premier ordre, prenons la question géométrique suivante:
Considérons la ligne dont l’équation en coordonnées polaires est
(1) r = F(sin 6, cos 6),
6 étant l’angle polaire et r le rayon vecteur, et en chaque point de cette ligne élevons une perpendiculaire au rayon vecteur correspondant. On demande de trouver la trajectoire orthogonale de ces perpendiculaires, c’est-à-dire la courbe à laquelle ces perpendiculaires sont normales.
En prenant le pôle pour origine des coordonnées rectangulaires X, y, et l’axe polaire pour axe des x, l’équation d’une de ces perpendiculaires sera
(2) X cos 0 -}- 2/ sin 0 — F(sin 0, cos B).
L’équation de la trajectoire cherchée donnera y en fonction de X, ou vice versa. Les tangentes des angles que font avec Taxe des x la normale à la courbe cherchée et la droite (2) ont respectivement pour expressions
dx cos B ^
dy^ sin ’
ces tangentes devant être égales, l’équation différentielle du problème sera
(3) s\\\B.dx — cosB.dy~{).
Il ne reste plus maintenant qu’à exprimer sin^ et cos 61 en x et y, au moyen de l’équation (2), et à intégrer l’équation à deux variables (3). Mais il est aisé de voir que, quelle que soit la
Irnschenetsky: Sur L'intégration des équations
fonction F, »m0 et — cosO doivent s’exprimer en æ et y de telle manière que la condition
0sin0 ôcosO dy ^ dx ~~
soit satisfaite, d’où il s’ensuit que le premier membre de l’équation (3) forme une différentielle exacte. En effet, en faisant, pour abréger,
sin 6 = /?, cos 6 = — <7, écrivons l’équation (2) sous la forme
— qx-i-py~F(p, — g) = 0,
équation à laquelle nous pourrons joindre encore la suivante,
p^Fq^-l = 0.
En désignant respectivement par g) et ip les premiers membres de ces équations, il est aisé de s’assurer que la condition
dcp d'IP Bq) Bip B(p d'IP Bcp d'IP ^
Wi w ~ 0^ 0^ 0^ 0^ + 0^^ 0^ 0^^ 0^
est idenfiquement satisfaite. Par conséquent,
dp dq dy dæ
Prenons le cas particulier où la fonction F se réduit à une constajite a; alors l’équation de la courbe donnée, r~a, représente un cercle. Le système des perpendiculaires est celui des tangentes au cercle, et leur trajectoire orthogonale est la développante du cercle. Les équatiofis qui déterminent p et q sont
— q^ -\- py— U — t), p‘^ q- — 1 == 0;
eu les résoivatit, on trouve
ny F X ■S/' x^ F y^ — y ^ x^ F y‘^ —
Partant, l’équation (3) prend la forme
<ty F xÿ' I -y^ — — ax F y ST x*^ F 3/^ —
et le premier membre de cette équation doit être une différentielle exacte. En effet, on peut l’écrire sous la forme
aux dérivées partielles du premier ordre.
Ch. Vf, S. 23. 133
ydx — ydy {xdx -f ydy) -|- y‘^—
a . d arctang -±i ^2+^2 —
OU, en posant
ÜC
arctang- = tj ,
, , uMu ^
adv + —ir~t — ^
Or
u^du , U
«-a arctang-
Donc l’intégrale de l’équation précédente est
av a arctang - = const. ,
ou
a arctang - + V + 3/^ — « arctang — = const,
105. Prenons maintenant un problème indéterminé aux dérivées partielles du premier ordre. Supposons que l’on demande de déterminer l’intégrale commune des deux équations
ôz dz
X X — X2i XjTf X X — Xi Xa»
OXi 0X3 ^ 0X9 OXa
8z dz '2
En posant
dz dz dz dz
dxi dx2 8x3 8x4
nous écrirons les équations de cette manière,
Bi = Pi P3 — x^x^ — 0, //a = Pa;?4 — X1X3 = 0.
Pour essayer leur compatibilité, formons l’expression
~Xi
Pi, 0
Pi.
0, pa
(Hi, /r,) =
= ^3 Pi — ^4 P4 + Pi ~ ^2P2'
Cette expression ne se réduit pas à zéro en vertu des équations données ; mais elle peut s’annuler en vertu des équations encore
Imschenelsky: Sur V intégration des équations
inconnues. Pour qu’il en soit réellement ainsi, supposons qu’une des deux équations encore inconnues soit
Pi —^2/^2 + ^3^3 — ^4^4 = 0.
La condition , Hq) est maintenant remplie, et il reste à examiner si les expressions
0^ Pi 1
P3, Xi 1
Pu ^3
= — Pi Ps + ^2^4 -Pi Ps + ^2^4 = — 2^1,
—^3» Pi
0, — pa
~Xi, 2H
0, xi
= — Xiœ^ +P2P4-“^1^3 4 P2P4 = 2^2»
peuvent se réduire à zéro.
Or, il est évident qu’elles s’annulent en vertu des équations données; donc les équations
Hi=0, = ^3 = 0
sont compatibles et admettent une intégrale commune, qui contiendra dans son expression la plus complète 4 — 3 + 1 = 2 constantes arbitraires. Passons à la détermination de cette intégrale.
Pour ramener au plus petit nombre possible de variables les équations à intégrer, résolvons les équations précédentes par rapport à 2h> P2> Ps- équations Bi =0, //a = 0 on tire
Pi
Xi ^3
En substituant ces valeurs dans l’équation //g = 0, on obtient, pour la détermination de ^3, une équation du second degré un peu compliquée. Par suite, il est préférable de calculer une de ses racines (ce qui nous suffira), de la manière suivante. Multipliant entre elles les équations données
il vient
Pi P3 = ^2-^4» XiX.^ — P2P4»
Pl^l •P3^'*^3 = P2'^2 P4^4>
Pl„^l P4^ Pl^l — P4^4 P2 ^2 P3 ^3 Pl^l — P3^3
d’où l’on tire
aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. VI, $.23. 135 Or, d’après l’équation = 0, on a
donc
Mettant cette valeur dans l’expression de pi , il vient
on a, de plus.
Pi= — =»,;
Pour déterminer ensuite l’équation
/’(P4, Xi, .Tg, ^4) = const,,
qui doit fournir l’expression de /?4 au moyen des variables indépendantes, il faudra intégrer simultanément les trois équations linéaires
Les systèmes d’équations différentielles ordinaires correspondants aux deux premières de ces équations linéaires sont
dxi dx^ dp^ dx2, ___ dx/^ dp^
Pi^ Pi
Par suite, l’intégrale 9? =^4= const. sera commune aux deux premières équations linéaires. En la mettant dans la troisième à la place de f, on aura
dWg /?4 CD
Donc l’intégrale commune aux trois équations linéaires s’obtiendra par l’intégration de l’équation
dcp 1 n
dx-i x-i ^ ’
et sera
log^j — logÆ’g = const., ou ^ = const. = «.
Par conséquent,
Imscfienetsky: Sur V intégration des équations
Pi-aXs, Pi=^> Pi = ^’ J»3 = «^4-
Donc
Pid^i + + Psda:^ + p^dx^
Xidx^ x^dx^ a
+ a {x^dx^ + x^dx^.
(fl
En intégrant, on tire de là l’intégrale commune cherchée des équations données,
2 = -f* otx^x^ -|- const.
106. Considérons l’application de l’intégration simultanée aux équations linéaires par rapport aux dérivées partielles du premier ordre. Supposons que les équation données soient
«i^) p^ -p «2^^^ /?2 + •• + ««-i6) pn-i + pn = 0,
ai^^)pi + P2 + •• + Pn-1 + Pn = 0,
en posant
dz dz
et désignant par
rri.n fonctions données des variables indépendantes Xi,.., Xn-
Nous représenterons les premiers membres de ces équations de deux manières ; soit par les lettres correspondantes Hm»
soit par les symboles Ai(z),.., Am{z)» Dans le second système de notations, le résultat de la substitution d’une fonction quelconque qp à la place de z dans la première équation, par exemple, sera exprimé par Ai((p); le résultat de la même substitution dans la dernière équation sera Am((p)‘
at
et
di
107. En admettant que les équations données soient algébri- fa quement compatibles, il faudra examiner si les expressions (Hi, Hk) jet pourront être réduites à zéro pour toutes les valeurs 1, 2,..., m pi des indices i et k. oi
aux dérivées partielles du premier ordre.
Ch. VI, 24. 137
Ces expressions seront évidemment des fonctions linéaires par rapport à Pi,.., pm dont la forme générale s’obtient aisément comme il suit. D’après la formule du commencement du 16, on a
{Hu Hk)
düi
Bxi
dxi
Pi + •• +
dan^^)
Sxi P”’
Pl + •• +
8xi P"'
SOrt— ifi)
Pl+- +
dxn
Pl + • • +
Bxn P”’
ÔXn dui (*)
En groupant ensemble, dans le second membre de cette égalité, les termes qui contiennent en facteurs communs les quantités
Pi, p„, et appliquant la notation indiquée dans l’art, préc.,
il vient
(ffi, ffk)-=[Jk(ai(^^)-^i(ai(^n]pi-l-
On voit par là que les expressions (jF/i, Hk) se réduisent à zéro: 1^ en vertu des équations données, si elles se réduisent à des fonctions linéaires homogènes de quelques-unes des quantités Hi, . ., Hm', 2® identiquement, si les coefficients de Pif..,pn dans ces équations sont nuis séparément. Si elles ne s’annulent d’aucune de ces deux manières, alors, en égalant ces expressions à zéro, on ajoutera aux équations linéaires données d’autres équations également linéaires.
En appliquant pareillement ce calcul aux nouvelles équations linéaires que l’on vient de former, supposons que l’on ait ajouté aux équations données en tout r équations
Hm-\-\ 0, Hru-\-2i = 0, . ., Hm-\-T P>
7/1 -|-r n’étant pas plus grand que n, et les conditions {llu Hk) = i) étant satisfaites pour toutes les valeurs 1, 2,..., ///-fr des indices i et k. On pourra, dans ce cas, trouver une intégrale satisfaisant simultanément aux équations données, et dont l’expression icomplète contiendra // — m — î’-f-l constantes arbitraires, y compris celle qui y entre par simple addition; et de cette intégrale on déduira très -simplement l’expression de l’intégrale la plus gé-
138 Imschenetshy: Sur IHntégrailon des équations
nérale, renfermaot une fonction arbitraire de n — m — r fonctions données.
108. La marche du calcul de l’intégrale complète a été exposée précédemment dans un cas plus général celui des équations simultanées non linéaires, et elle s’applique ici sans modification. Pour montrer seulement l’application de la nouvelle forme des conditions d’intégrabilité, prenons un exemple particulier: Trouver,^ s’il est possible, une intégrale satisfaisant simultanément aux deux équations linéaires
Sz 8 8
= gi + (< + ^2/ + ^«) + (ÿ + « — 3a:) = 0,
Pour essayer leur compatibilité, représentons par A(2) et ^(2) 1 1 les premiers membres de ces équations, et formons l’expression
(Æ*. H,) = [^(O)-iS(J)] + (})~B(0)] I
dz
+ [A(xut+ÿ — xy)- + Æy + xu)] g-
Les deux premiers termes sont nuis; pour calculer les autres, on trouve
A (xut — y — xy) = ut — y {t xy ^u) xt -f {y-{-u — ^x)xu, æy-\r xu) ^ -f {xut + y — xy) x-\rut — y,
A (ut^y) = {t-\r xy -\r xu) t {y -Yu--^x)u,
B{y-\-u — 3a:) = 1 + {xut-\-y — xy).
En portant ces valeurs dans les coefficients de l’expression précédente, on la ramène à la forme
(xyt + fi + «^ + yu—^xu + x:y—y — l)(x^ + g-*).
Il est clair, d’après cela, que la condition Hi)=0 sera satisfaite, si l’on pose
Ch. VI, S. 24. 139
En représentant le premier membre de cette dernière équation par C (2), il vient
(H„ IJ,) = [^(O)-Ctl)] g + [^(O)-C(O)] J
-{■[A{x) — C(t + xy^xu)']^ + [A(\) — C{y-\-u—Zx)'\
(H„ ff,) = [B(0)-C(0)] g + [B(0)- C(l)] I
f [e(x) — Cixut + y—Xÿ)]
Or on a
A (.t) — ï , C (t -V xp A- xu) = x^ -i~ h C(p A-^ — == X,
^(x) = 0, C(xutA-p — xp)~x^tA-xu, C (ut — = +
Donc
(H„ ^,) r:. a:* I = - xH„
Sz 02
(^3, n^) = — (xHA-xu) ^ — (xtA-u) ^ == — (ar< +
Partant, les conditions i^i) = 0, /fg) = 0 sont satis-
faites en vertu de l’équation = 0.
Ainsi les trois équations linéaires
