II, =0, H., = 0, B

remplissent toutes les conditions d’intégrabilité. Donc, conformément aux conclusions de la théorie générale, l’intégrale qui contiendra simultanément à ces trois équations devra contenir dans son expression complète deux constantes arbitraires (dont une par simple addition). De cette intégrale complète on déduira l’intégrale la plus générale, exprimée au moyen d’une fonction arbitraire d’une certaine fonction donnée.

Cherchons d'abord l’intégrale complète. En posant, pour abréger,

Sx"^^" dû~r*’

déterminons, à l’aide des équations précédentes, les expressions des trois premières de ces quantités en fonction de la quatrième et des variables indépendantes. Si l’on désigne, pour abréger, ces expressions par coi, £«2, 033, on aura

Imschenetsky: Sur V intégration des équations

/?! = — (3a:2 + ^)p4=roi, = — /?3=:— a:/î4 = C03.

D’après cela, pour déterminer l’équation

f{p^, X, y, t, u) = const.,

qui donnera la valeur de /?4, cherchons une intégrale commune des trois équations linéaires

(Pi — D)i, /) = 0, — wa, /*) = 0, (/?3 — c»3, /’) = 0.

Les systèmes d’équations simultanées aux différentielles ordinaires correspondantes aux équations précédentes seront

dx du __ dy du dp^^

l dcoi dcDi * J dœ2 0(O2 ,

dp4 du dp4 du

dt du dp4

1 dœ^ dcOÿ

dp4 du

Or, comme on a

dooi dcoÿ

du du

dcùs „

== 0, l intégrale

f z=z p4=z const, = a

conviendra à chacun des trois systèmes d’équations simultanées et à chacune des trois équations linéaires précédentes. Par suite, les expressions des dérivées partielles de la fonction cherchée Z seront

Pi ~ — (Sx- -f t) a, P2 ~ — ya, P2 — ~ ara, p4 — a.

Donc

dz = — a [(3.^2 f t) dx -{-ydy + xdt — du\, d’où l’on tire, en intégrant, l’expression de l’intégrale complète

Z = « (u~ x^ — xt — -f const.

Enfin, l’expression de l’intégrale la plus générale peut être donnée sous deux formes: soit au moyen des équations

2 = a (u — ~ xt — -f 7C (a),

dn(a)

soit au moyen de l’équation unique

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. VI, §, 26. 141

TC désignant dans les deux cas une fonction entièrement arbitraire. Il est évident que ces deux expressions de l’intégrale générale sont équivalentes entre elles.

109. Dans le problème précédent, nous avons fait usage de la forme particulière que prennent les conditions d’intégrabilité des équations simultanées linéaires aux dérivées partielles du premier ordre. Il est à-propos de signaler encore ici une autre forme de ces mêmes conditions, dont Jacobi s’est servi pour établir le Théorème fondamental 1 du §. 17.

Prenons deux expressions linéaires par rapport aux dérivées partielles de la fonction z,

02 dz dz

Oi, «a,.., a« et 6|, à®,.., 6» désignant des fonctions de æti,.., et représentons la première de ces expressions par A(z), la seconde par ^(z).

On peut considérer A et jB comme des signes d’opérations complètement déterminées, et nommer la première de ces opérations l’opération A, la seconde l’opération B. En soumettant à l’opération A une fonction quelconque z des variables Xi,..

Xnf nous obtiendrons pour résultat une nouvelle fonction des mêmes variables, sur laquelle nous pourrons effectuer l’opération B. Représentons symboliquement par

le résultat de ces deux opérations successives. Si l’on exécute les mêmes opérations dans l’ordre inverse, on pourra représenter le nouveau résultat par

Voyons quelle sera, en général, la différence de ces deux résultats. On a

Imschenetsky : Sur Vintègration des équations

BiA{z)1 =

OU

On trouve de A[l}{z)] =

(düi dz da^ ^2^

* \ da^i da^i ^ da:i ^ ^ Bæi dxn

^ dæi^ ^ da;iôæ2 ^ ^ d^ida^n )

( a«i dz da^ dz da„

^ \ d^2 ^ ^ ^ 0a:2 da^n

( 6rti 62 602 62 6a« 62

^ ” \ 60:» 6o’i 60:» 60:2 ^ ao-n 6o:«

da^i dæn ^ 60:260:» ^ * * * ^ ^" 60:1

6^2 6^2 + (61 «2 + 62 «1) 5:^7^ + . . + (61 r/„ + Ôn»! ) 0 ~

H" • • "h (6«— 1 O» -f' bnOji—l)

doCfi — 1 C^O'n

meme

Üi

+ '("• ** +!"**> ) 0Ï;SÏ2 +•• + («! *» + On 6, ) g^g—

+ . . f {a„-i b„ + «„ 6„i) g^^jg^__-

En comparant ces deux expressions, on remarque que ceux de leurs termes qui renferment les dérivées du second ordre de

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. F/, §. 25. 143

la fonction z sont identiques de part et d’autre; donc, si l’on soustrait ces expressions l’une de l’autre, ces termes se détruiront, et la différence sera exprimée par la fonction linéaire suivante des dérivées partielles du premier ordre de la fonction z,

B [A (»)] -AiB (î)] = i B ^ I ~

0 02 + ( B («2) ^ (62) 1 + •••• + { B (On) ^ (6n) 1

110. Désignons maintenant les dérivées spectivement par pn, et posons

02 02 8X1 * * * * ’ dXn

re-

«1 Pi + • • • + OnPtt = À (2) = //,

^iPl +• •• + ^nPn = B (z) = G.

D’après ce qui a été démontré au §. 24, art. 107, nous aurons

(//, G) = { B {(II) — A {bi) I Pi + .-f-l B (an) — A (bn) j p»*

En comparant ce résultat à celui de l’art, précédent, il s’ensuit que l’on a

(//, G):=B[Aiz)]--A[B{z)l

On en conclut que les deux équations linéaires A(2) = 0, B{z) = 0 seront compatibles, si la condition

est satisfaite, et il est évident que cette nouvelle forme de la condition d’iotégrabilîté des équations linéaires simultanées est équivalente à la précédente.

111. Conséqtuencc. — Supposons maintenant que q?, ip et 2 représentent des fonctions quelconques des variables Xi,.., Xn, Pift Puf et prenons deux expressions linéaires par rapport aux dérivées partielles du premier ordre de la fonction 2, de la forme suivante.

0071 8pi ~~ dpi dxi +**■*■ da:n 0p» 8p„ 8^ '

S^fj 02 8tP 8z S'tfJ 02 • 81^ 02

0o7i 8pi 8pi 8x1 ^ + da;n 8pn ~ 8p„ 8xn

Imschenetshy: Sur Vintégration des équations

En vertu de la formule démontrée plus haut (art 109), on a

= 2 {[«(s) (E>l;-Kë)

Or A (z) = (cp, i), B (î) = (tj;, Z) ; donc

et

B[Â{z)'\ = [r/), (g), î)], AiBiz)] = [ip, (ip, î)],

BlAiz)] — A{B{z)\ = [iii, (ijp, z)] — [<p, {il, i)] = [if». (9>. *)] + [?’. (*. ■^)]-

De plus,

par conséquent, en vertu de la formule (4) du §. 16,

de même

D’après cela, l’égalité (a) prend la forme

{S(ii, <p) dz 8(ii, (p) 8z )

== £. ~ “ëpT" 8^- h - 1*’

OU, en faisant passer tous les termes dans le premier membre.

112. Telle est, en substance, la démonstration que Jacobi a donnée de cette proposition (Nova Methodus, §§.23. — 26.). Mais, comme cette démonstration est étroitement liée à la théorie de l’intégration des équations linéaires simultanées aux dérivées partielles du premier ordre, j’ai cru préférable de la présenter en même temps que l’exposition de cette partie de la méthode, et j’ai donné plus haut (§. 17) une autre démonstration, qui m’a semblé n’être pas plus compliquée et se déduire immédiatement des propriétés fondamentales des expressions de la forme (g), 'tp).

aux dériioèes partielles du premier ordre. Ch. F/, §. 25, 145

Remarquons que ce Théorème était déjà connu avant la publication de la „Nouvelle méthode*' de J ac obi. En effet, dans le Mémoire cité plus haut (§.22) de Donkin, „On a Class ot Differential Equations, etc.**, on trouve ce Théorème (page 92, Section 11, §.21), et au bas de la page 71, il est mentionné parmi les résultats trouvés pour la première fois ou démontrés d’une manière nouvelle par l’Auteur.

La démonstration de Donkin pourrait plutôt être considérée comme une vérification du Théorème en question. Du reste, à cause de sa brièveté, elle peut être utile pour une exposition abrégée de la théorie de Jacobi; c’est pourquoi je pense qu’il ne sera pas superflu de la rapporter ici.

113. „ Théorème, Si p, g, r sont des fonctions quelconques des 2w variables Xi,,,, Xn, ynj on a

„Si l’on développe cette expression, il est évident que chacun de ses termes se compose du produit d’une dérivée du second ordre de l’une des fonctions /?, r, par des dérivées du premier ordre de chacune des deux autres fonctions.

„ Considérons les termes contenant des dérivées du second ordre de p\ ils seront de l’une des formes

Zq dr Bq Br B^p Bq Br

BxiByj Bxj Byi* BxiBxj Byi Byj* ^yi^yj Bxi Bxj^

i pouvant être égal à j, et chacun d’eux proviendra du premier ou du troisième terme de l’équation («).

,,En examinant maintenant chacune de ces formes, il est aisé de voir que, pour chaque terme provenant du premier terme de l’équation (a), il se trouve un terme semblable, mais affecté d’un signe contraire, provenant du troisième terme de cette équation; et comme la même chose est vraie pour les termes où entrent les dérivées secondes de q ou de r, il s’ensuit que le premier membre de l’équation (a) tout entier se réduit identiquement à zéro. Donc le Théorème est démontré.**

114. Considérons encore l’application de la méthode d’intégration des équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre à la détermination des conditions d’intégrabilité immédiate

Imschenetshy: Sur V intégration des équations

d’une expression différentielle conteoant une variable indépendante, et des fonctions de cette variable avec leurs dérivées d’ordres quelconques.

Cette question, qui a été, comme on sait, résolue par Euler et par Condorcet, et dont Lexell, Lagrange, Poisson, Sarrus, Bertrand, Binet et d’autres géomètres ont fait l’objet de leurs recherches, présente une application facile et intéressante de la théorie qui nous occupe. La nouvelle méthode de solution peut être comparée, sous le rapport de la simplicité élémentaire, à celle qui a été donnée par Condorcet*) et perfec-, tionnée par Sarrus**); et tandis qu’elle fournit absolument de la même manière les expressions des dérivées partielles du premier ordre de la fonction cherchée par rapport à toutes les variables qui y entrent, elle ramène la détermination de cette fonction à l’intégration d’une différentielle totale. Mais, avec cela, on obtient l’une après l’autre toutes les conditions qui doivent être nécessairement remplies par la fonction donnée pour qu’elle soit la dérivée exacte d’une autre fonction. Si, dans le cas donné, l’existence de cette dernière fonction est démontrée impossible, on s’en aperçoit, en général, avant d’arriver à la condition connue d’Euler, laquelle s’obtient la dernière dans notre méthode. Il est à propos d’observer que cette condition est donnée ici sous une nouvelle forme symbolique, doublement remarquable.

Pour compléter la solution d’après cette méthode, il ne resterait plus qu’à trouver un moyen simple pour démontrer que toutes les conditions nécessaires sont remplies, dès que la condition unique d’Euler est satisfaite. En l’absence d’une telle démonstration, on doit en attendant donner la préférence, pour la solution du problème proposé, aux méthodes moins directes et moins simples du Calcul des variations.

Le procédé indiqué ci-dessus est dû à Boole***), qui présente ce problème comme exemple de l’application de la méthode

*) Dans son Calcul intégral. Voyez aussi üacroix » Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral, tome II., pag. 238

**) Annales de Mathématiques de derg^onne, tome XIV* Voyez aussi Todhunter, History of the Progress of the Calculus of Variations, p. 523 — 529.

•**) Dans son Mémoire ,,On8imultaneou8DifferentialEquations of the first Order, etc.*‘ (Philosophical Transactions, 1862, Part ï, p. 453).

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch,\I,S,Z6, 147

donnée par lui pour l’intégration des équations simultanées du premier ordre aux différentielles ordinaires, dans lesquelles le nombre des variables surpasse de plus d’une unité le nombre des équations. Mais on voit, d’après ses recherches, que cette question générale est étroitement liée avec le problème de l’intégration des équations linéaires simultanées aux dérivées partielles du premier ordre. L’Auteur, ne considérant pas ce dernier problème à ce point de vue commun, que Bour a indiqué*), applique les conditions de compatibilité des deux équations linéaires

^ = J(2) = 0, (7 = B{z) = 0, exclusivement sous la forme

ou, suivant son mode de notation,