Pour déterminer les n fonctions pn, qui condui
sent, par l’intégration de l’équation (2), à l’intégrale complète de (1), il faut en général trouver w équations entre ces fonctions, les variables Xi,...,» Xn, z et « — 1 constantes arbitraires «i,..., «n— 1« Nous avons déjà une de ces n équations, savoir, l’équation aux dérivées partielles donnée (1); il reste à déte|miner les « — 1
34 [mschenetsky : Sur V intégration des équations
autres. En supposant ces dernières résolues par rapport aux constantes arbitraires, représentons le système considéré des n équations comme il suit,
(5) F 0, 1^2 — ^2 ?*•••> ft i = On—X >
Fj,...., Fn—1 désignant, comme le premier membre F de l’équation donnée (1), des fonctions de Xn..., Xn-, 2, /Ji?..., pm qni «e renferment pas de constantes arbitraires.
De cette manière, au lieu de déterminer n fonctions renfermant, avec les w -f 1 variables, n — l constantes arbitraires, le problème se ramène à la recherche de « — 1 fonctions Fi,..., Fn-i, de 2w -f 1 variables chacune, mais ne renfermant pas de constantes arbitraires. Pour la détermination des fonctions on donne les équations de condition (4). Voyons quelles conditions doivent remplir les fonctions Fj,...., F«i, en supposant que les valeurs de*pi,...., pn, tirées des équations (5), satisfassent aux conditions (4). Pour cela, prenons deux quelconques des équations (5), par exemple, les équations
Fi = ai, Fk — ak,
et différentions-les successivement par rapport à chacune des variables indépendantes Xi,.,,, Xn- On trouve, en dilFérentiant par rapport à ,
+ dp.
,dFi ^ Sp^
,dFi
Bpn
^ hs
8Fk
+ dp,
dFt
dfk
* ^ dpn
différentiant par rapport à ;
rj.
\dX2J
JJl
' dp.
\dxj
’ dp„
fS£n\
\dx^
\dx2/
dFu
+ dp.
(^Pl)
\d.rj
dj\
dp^
. aFfc Bpn
\dx2J
et ainsi de suite; enfin, en diflférentiant par rapport à Xn,
aux dérivées par U elles du premier ordre.
Eliminons
lueres
, entre les deux premières équations précédentes, m--
deux suivantes, enfin, entre les deux der-
, Nous obtiendrons ainsi les n é^quations
\dxj
dpi
8Fi
dpi
/an
{8J\8Fk l 8/)2 8pi
8 Fi 8Fi
8pn 8pi
Qjl 05
dFk
8Fi
(djk
{m8Fk
jxdx^J
"SpJ
[Sp, 8p^'
dp2 dpi j \dxj
\8JFi 8Fi,
{8pn 0p2
dFi dFk'i /dpn\ __ ^Pn ) {^^2/
f \dXnJ
dFk
dpn
Jlii
<8 FJ^
dJ\dFk
Bpi dpn
S Fi dFk) /dpi \
dp„ dpi j \dx„/
dFi
BFk dFi dFk ) /dpn—i\
dp„-]
l dpn dpn dpn-1 ) V dXn )
25. Introduisons maintenant les conditions d’intégrabilité (4), et remarquons que, dans les équations (6), les coefücients des
quantités doivent être égales en vertu de ces
conditions, sont eux -mêmes égaux en grandeur, mais de signe contraire. Si nous faisons la somme de toutes les équations (6)> tous les termes, à l’exception des deux premiers de chaque équation, se détruiront deux à deux, et nous obtiendrons l’équation.
^ ^ V J ^Pi ^pi \
X^^n/dpn dpn \
qui devra être satisfaite par toutes les combinaisons deux à deux des fonctions qui forment les premiers membres des équations (5).
La loi de composition du premier membre de l’équation (7) au moyen des dérivées partielles des fonctions Fi et Fk est évi dente; nous adopterons, pour le désigner, le signe conventionnel [Fl, Fk]. D’après cela, le type général des conditions auxquelles doivent satisfaire les fonctions F, Fi,...., F„i, sera
(8) [Fl, F,] = 0,
i et k représentant toutes les combinaisons différentes des indices 0, 1, 2, — , 71 — ], pris deux à deux, avec la supposition de
Imsc henetshy : Sur V intégration des équations
Fq—F* Par suite, les conditions (8) sont en même nombre que les conditions (4), savoir, au nombre de
Remarquons de plus que, si dans l’équation (7) une des deux fonctions Fi, Fk est donnée, cette équation sera de forme linéaire par rapport aux dérivées partielles de l’autre fonction, qui est inconnue. Ainsi, par exemple, en faisant, dans l’équation (7), Fk~F, et écrivant, par suite, l’équation sous la forme
dpi Bp2
Bpn Ba:n
t BF ^ BF ^ ^ BF)BFi
(BF BF)BFi (BF BF) BFi
\ Ba:i ^ Bz j Bp
Bx2 ^ Bz j Bp2
Bz ) Bpn '
nous avons une équation linéaire par rapport aux dérivées partielles de Fi, dont l’intégration (Chap. 11, §§. 8 et 9) se ramène à l’intégration du système suivant d’équations simultanées aux différentielles ordinaires.
Bpt
dz
Bxn
Bpn
- Bt Pi
BF
Fpn
Bpn
Bxi
-dpi —dp2 ,
, BF-" B F aF‘“
~dpn
