AB -BA

A la suite de cela, dans l’application au problème considéré, il introduit toute une série de symboles, qui, tout en permettant d’exprimer la solution sous une forme très -condensée, lui ôtent cependant l’avantage de la clarté et de la simplicité désirables.

J’adopterai, en conséquence, le mode d’exposition de Bertrand, qui, dans une de ses leçons professées au Collège de France, en 1863, a remarqué que, dans l’application au problème actuel, il vant mieux faire usage de la condition de compatibilité des équations linéaires sous la forme (B, G) = 0, et a fait voir comment on déduit la condition d’Euler dans le cas particulier où l’expression différentielle donnée contient une variable indépendante, une fonction de cette variable et les dérivées de cette fonction jusqu’au second ordre. Je traiterai la solution de la question sous sa forme générale, parce que, dans le cas particulier considéré par Bertrand, on n’aperçoit pas certains côtés de la question qui ne sont pas sans intérêt.

115. En représentant par x la variable indépendante, par y une fonction de cette variable, et par

^ dx’ y dx'^ ’ ■ ■

dx^

*) Dans le Mémoire cité plus haut (art. 90). Ce Mémoire ayant paru au meme moment que le travail de Boolc, il est probable que celui-ci n’en avait pas eu connaissance.

Imschenetsky: Sur V intégration des équations

les n premières dérivées de cette fonction , soit

P(.x, y, y', y",.., ÿW)

l’expression donnée, et proposons-nous ce problème:

Déterminer, s’il est possible, une fonction F des variables y> étant différentiée par rapport à x, non-seu-

lement en tant que x y entre explicitement, mais aussi en tant que X entre dans les fonctions y',.., y^”^, reproduise l’expression F.

Employons la notation pour désigner cette dérivée totale;

nous aurons

dV BF dV . 8F ,, 0F

dx 8x ^ 8y ^ ^ dy' ^ ^y(n—i)

et l’équation fondamentale du problème sera

Remarquons, en outre, que:

1®. Si la fonction F était déjà connue, l’équation (1) deviendrait identique, la fonction y restant complètement indéterminée.

Or F ne contient pas donc le terme n’ayant

aucun terme semblable à lui ni dans le premier, ni dans le second membre de l’équation (l), doit s’annuler de lui -même. On doit donc avoir nécessairement

2^. Il est évident que, si la fonction donnée F provient effectivement de la différentiation complète d’une autre fonction F par rapport k x, F doit être de forme linéaire par rapport à puisque cette forme est celle du premier membre de l’équation (ï). Par suite, il faut que l’on ait

A et B étant des fonctions de x, y y 2/ pour que l’équation (1) soit vérifiée identiquement pour toute valeur de y, on devra poser encore la condition

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. F/, 26, 149

B pouvant facilement s’exprimer au moyen de F, En effet, en différentiant partiellement les deux membres de l’égalité (a) par rapport à il vient

Par suite, si l’on représente, pour plus de simplicité, par

Vx, Vy, F(l), F(2),..., F(«1), F(n)

les dérivées partielles

et que l’on adopte pour les dérivées partielles de F une notation analogue; les trois équations du problème, exprimées au moyen des dérivées partielles de la fonction F, seront

(I) H = Fx+ F,/+ F(i)y'+.. + F(„-i)2^(«)+F(„)y«+^)

116. Ayant ainsi trois équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre, il faudra, pour les intégrer, appliquer la méthode exposée dans les paragraphes précédents. Pour cela, considérant H, G, comme des fonctions des 2(71-1-2) variables Xy Vx, y, Vy, y', F(i),.., F(«), formons les expressions

{H, G ) = V{n-1) — F{n), dF(n)

0iy(”) *

dF{n)

La première se réduit à zéro, en vertu de l’équation /fi=:0. La seconde est identiquement égale à zéro, puisque F(n) = B, et que B ne contient pas y^^\ d'où il s’ensuit que

0ÿ(>O — 0ÿW —

Imsc henetshy: Sur Vintégration des èquaUons

La troisième expression ne s’annule ni identiquement, ni en vertu des équations données; mais elle contient la dérivée partielle V(n-2) de la fonction cherchée. En la posant donc égale à zéro, on ajoutera aux équations données une quatrième équation

(ff. H,) = = 0.

Si l’on remarque que, dans cette équation, on a

da:

yi”) =

dF(n)

dx '

on pourra écrire cette équation sous la forme

dF (n)

en faisant, pour abréger