H II
l"l. "a; — Sÿln-3)’
dx^
St»n-3
La première de ces expressions est nulle en vertu des équations établies précédemment. En effet, le Théorème 1 du §. 17 donne
(G, /fa) = [G, (H, /f,)] = - [H, (H^, 6?)] -[/f^, (G, H)]; or (G, H^) = 0, (G, /f) = — Hi; par conséquent
Imschenetskp: Sut V intégration des équations
Ensuite les valeurs de {Hn H^) et de s’exprimant
au moyen des seules variables x, doivent se réduire
identiquement à zéro, si la fonction cherchée V existe; et, en effet, les conditions (^i, jÉfg) = 0, {H^, H^)'=zi) n’expriment pas autre chose que les relations nécessaires pour qu’on ait les égalités
Qy{n—d)'* *"
Enfin, en égalant à zéro, l’expression {H, H^), on obtient une nouvelle équation, qui devient, en remplaçant con—s par sa valeur.
d^Fjn-l) d^Fjn) ^ dx^
119. On voit maintenant comment on devra continuer à procéder pour la solution du problème qui nous occupe. Si la fonction F satisfait à toutes les conditions nécessaires, lesquelles se réduiront finalement à ce que les valeurs déterminées successivement pour les dérivées partielles satisfassent aux conditions
on obtiendra alors, outre les équations précédentes, les équations ^5 = 0,.., M==0,.., /f„ = 0, qui seront généralement de la forme
Hi = F{n^i) — F [n-t+1) +
dF{n-^i^2)
dx
^ dxi-^
ce qui devient, pour ^ = n,
Hn — Vy —
dF(2)
dx
d**-^F (n) dx^^
Pour décider de la compatibilité de la dernière équation avec les précédentes, posons
et formons les expressions
aux dérivées partielles du premier ordre.
Ch, V/, S, 26. 153
Hn) =
dy (”) *
(^1, Hn) =
Hn) =
8ci?0 Bcon—i
dy dy *
{H, Hn) —‘Fy-{-
d(ùQ
dx
dFi,)
d^^Fi^)
dx^
dx^
Toutes ces expressions sont des fonctions des seules varia* Ides X, y, y'f,,, y^") , et par suite doivent se réduire identiquement à zéro. Mais l’expression (G, Hn) se réduit déjà à zéro en vertu des conditions dont on a reconnu précédemment la nécessité. On a, en effet, d’après le Théorème 1 du §. 17,
(G, Hn) = [G, (H, Hn^l)] = -[H, (Hn^l, G)] -[Hn^l, (H, G)] = [Ær, {G, Hn^l)]+(H,, Hn-l).
Donc {G, Hn) est nul, puisqu’on a (6’, Hn-i) = 0, (/fj, 1)=0.
De plus, les conditions
{Hi, Hn) = 0, Hn) = 0, . {Hn—ls Hi^ s: 0
sont nécessaires pour que l’on ait les égalités
dVy eF(n-i) BVy 8F(„-2) aFy aF(i)
^y (n— 1) ^y ’ dy ’ * * ’ dy' dy
riO. La série précédente de toutes les conditions nécessaires, que doit remplir la fonction différentielle donnée F, est ren* fermée dans la condition
P ( fw ff \ P dF{i) d^Fi^) d>^F{n) ^
E^{H,Hn)^Fy
trouvée, comme on sait, à l’aide du Calcul des variations par Euler, qui a démontré que cette condition était non -seulement nécessaire, mais encore suffisante ’'").
*) Bertrand a fait voir (Journal de l’Ecoie Polytechnique, XXXVlIle Cahier, p. 250 — 251) que Lagrange, Poisson e| d’autres géomètres se sont trompés en avançant qu’Ëuler n’avait pas démontré que sa condition était suffisante.
Imschenetsky: Sur Vtntégratiorh des équations
On a, en vertu de ce qui précède,
Hn = {H, Hn-l)y Hn-l = (//, = {H, G).
Donc, par des substititutions très -simples, on pourra écrire la condition d’Euler sous la forme
[H, {H, (..., (H, G)...))]=zO,
H et G ayant les valeurs données dans l’art. 115.
En supposant que la fonction F remplisse toutes les condi- l tions nécessaires, on pourra déterminer très -simplement son intégrale V. En effet, les équations
G = 0, /fi=0,.., Hn=0
fournissent des expressions de toutes les dérivées partielles de la fonction cherchée, à l’exception d’une seule, savoir
V(n) = 0, F(n-l) = F(n), F (n-2) = ««-2,..., Fÿ = CDq.
En les substituant dans l’équation H =0, il vient p
Vx = F — — • • — w«-2 — F{ji)yW .
Partant, la fonction F sera déterminée par l’intégration de la ^ différentielle exacte
F = {F — (ûQy' ) dx
-f ©O + • • + «n-2 dy^^-^) + F in)
Dans les applications à des cas particuliers, il est très -commode de disposer les calculs comme l’indique le tableau suivant:
Fy,
dF{n)
dF (2)
dx * ’
“ dx *
dx
dx^~^ *
dn—^F (n-i) dx^-^ *
dx^
imi
elli
lou
COJ
cïe
lîi
où l’on peut calculer les unes après les autres les lignes horizontales, en allant de haut en. bas, ou les lignes verticales, en allant de gauche à droite. La somme des termes de la dernière
(St
aux dérivées partielles du premier ordre.
Ch. VI, S. 26. 155
colonne à droite donne la valeur de Texpression E, Si elle est égale à zéro, alors les sommes des termes de chacune des colonnes à précédentes en remontant vers la gauche, seront res- I pectivement les valeurs des dérivées partielles Vy, V(n-2),
EiXemple. Soit
F=(p(x)-i-p^-l- i^lxy — 1) y’ + xy'" -f xP^y"'.
En formant le tableau (A), on trouve
x^, X, 2xy—l, 2y-\r2xy\
— —1, —2y--2xy\
V(2) = x^, F(i)=— Vyz=.2xy, .E=0.
Par suite,
! Vx = F— x^y"' + xy'' — 2xyy' = 2xy'' —y^^ry^^^^> W*
Donc
dV = \^xy'' — y' + + çp (a:) J dx + x‘^dy" — xdy' + ^xydy ,
d’où l’on tire, en intégrant,
F = x’^y'' — xy' + y’^x -{-f^(^)dx-{- const.
121. Quoiqu’il suffise de former la seule expression E, qui ! entre dans la condition d’Euler, pour juger de l’intégrabilité immédiate de la fonction différentielle donnée F, cependant, comme elle est plus compliquée que les expressions qui entrent dans toutes les autres conditions nécessaires, il est généralement plus i commode d’employer ces dernières. Eclaircissons cela par un exemple.
Soit la fonction
F = xy’" y^ + yy'') y'" -\r Sf^xy' A- y-
Ici la première condition nécessaire, en vertu de laquelle F doit létre une fonction linéaire par rapport à la dérivée la plus élevée, est remplie. Examinons si F satisfait à la condition qui vient immédiatement après. Formons, pour cela, les deux premières colonnes du tableau (^A)\ il vient
Imsc henetshy : Sur l’intégration des équations
-f- yy" -f- .t; , foi
F (4) = xyf", Ma = — y" + yy" + x.
La condition nécessaire
dcû2
dy'"
dF(4)
ey'
pri
ail
n’est pas remplie évidemment dans le cas actuel. Cela nous fait voir très-simplement que la fonction donnée F n’esit pas immé- ii diatement intégrable, tandis que, pour obtenir l’expression £, il aurait fallu un calcul beaucoup plus compliqué.
Remarquons, en terminant, que la méthode précédente pour obtenir la condition d’intégrabilité immédiate, peut s’étendre trèsfacilement au cas où la fonction différentielle donnée contient plusieurs fonctions indéterminées y, z, u,... de la variable indépendante X, avec leurs dérivées de divers ordres. Mais cette généralisation est si simple que je crois inutile de m’y arrêter.
