Chapitre Vil

De l’intég-ration des systèmes canoniques d’équations simultanées ; ^ aux différentielles ordinaires du premier ordre. [(

§. 27. . rt

122. Un système d’équations différentielles simultanées du premier ordre entre une variable indépendante t et 2n fonctions [(

inconnues x^y.., Xn, yif en général, sous la forn>e

, , yn de cette

variable, peut se mettre.

dx, dt -

tlx»

dxn

.ri

dt - ’

dl/n dt ""

A\, Am Bn étant des fonctions données de la variable in-

dépendante t et des variables dépendantes x^, ^n, yn>

On appelle système canonique le cas particulier de la

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. VU, S. 27. 157

forme générale précédente, dans lequel les coefficients Bi,..

Any Bn sont formés avec les dérivées partielles d’une même fonction

3^1,.., yn)y

prises par rapport aux variables dépendantes, en sorte que l’on ait généralement

i désignant successivement chacun des nombres 1, 2,.., n.

D’après cela, un système canonique d’équations simultanées aura pour forme générale

dxi dH dx^ dxn dH

dt %i ’ dt * * ’ dt ~~ dijn

dyi dH dy^ dH d,yn dH

dt dxi’ dt dx^'‘"* dt dxn

Dans le cas particulier où la fonction donnée H est de la forme H=zf {Xi,. . , Xny yiyy yn),

c’est-à-dire ne contient pas explicitement la variable indépendante t, les équations (1) sont dites de forme hamiltonienne.

123. Cette dénomination vient du nom du célèbre géomètre anglais W. R. H am il ton, qui a ramené à la forme en question les équations générales du mouvement d’un système de points matériels soumis à la seule action des forces d’attraction ou de répulsion mutuelles*). En d’autres termes, un système hamiltonien représente sous la forme la plus simple les équations de tout problème de Dynamique auquel s’applique le principe des forces vives; par conséquent, deux problèmes de cette classe ne se distinguent l’un de l’autre que par le nombre des variables et par la forme de la fonction H — f. En se rappelant cette remarque, on comprendra facilement toute l’importance de ce problème: „ Trouver une n»éthode générale d’intégration pour les équations de la forme des équations (1).“

H ami I ton a commencé la série des découvertes qui con-

Voy. P h i I O s opii. Transar, t, 1835, P. I: ,, Second Essiiy on a General IVlethod in D y n a iii i c ily VV. II. llaiiiiltoii (|>ag. 90— .08).

158 hnschenetshy: Sur Vintégrationües équations

(luisent à ce but, en démontrant, dans ses recherches mentionnées ci-dessus, que les intégrales distinctes qui appartiennent aux équations (1), dans le cas de s’expriment au moyen

des dérivées partielles d’une même fonction, nommée par lui fonction principale. Il ramène la détermination de la fonction prâncipale à l’intégration de deux équations aux dérivées partielles du premier ordre.

La découverte de U am il ton, l’époque où elle a été faite, ne pouvait pas encore faire un pas en avant à la solution même du problème, puisque, d’après les méthodes alors connues, l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre se ramenait à son tour à l’intégration complète du système d’équations simultanées (1). Elle mit cependant en évidence une liaison encore plus étroite entre les deux questions, et elle appela sur ce sujet l’attention de Jacobi. Celui-ci démontra, en premier lieu, que, pour déterminer la fonction principale, il suffit de trouver une intégrale complète d'une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre, et que le théorème de H am il ton s’étend aux équations de la forme (1), dans lesquelles H F, c’est-à-dire dans lesquelles la variable indépendante t entre explicitement. En second lieu, ne connaissant pas encore à cette époque la méthode de Cauchy”^), et considérant celle de Pfafi comme la seule méthode générale qui existât pour un nombre de variables indépendantes supérieur à deux, Jacobi apporta à cette dernière méthode une simplification importante, coïncidant pour le fond avec la méthode donnée par Cauchy dès l’année 1819*) **).

Mais, comme nous l’avons remarqué plus haut, la méthode de Cauchy, ou la méthode de Pfaff perfectionnée par Jacobi exigeaient, pour l’intégration de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre à laquelle se ramenait l’intégration des équations (1), que l’on opérât, au contraire, l’intégration de ces équations (1); de sorte que, suivant l’expression de Bour, ,,on était seulement parvenu à ramener les difficultés les unes aux autres, sans sortir du cercle vicieux/^ Aussi Jacobi a-t-il commencé, dès l’époque de ses recherches mentionnées plus haut, à s’occuper de trouver une méthode d’intégration d’une équation aux dérivées partielles du premier ordre à un nombre quelconque de variables

*) Voy. Cauchy, Exerc. d’Anal. et de Phys, math., t II., |>ag. 239.

*•) Crelle’s Journal, 183T, Bd. XVII; „Zur Théorie der partiellen DilTcrcntialgleichungcn, par tlacobi.

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. VU, 27. 159

indépendantes, en poursuivant la voie indiquée par Lagrange pour la solution de ce problème dans le cas de deux variables indépendantes, voie dans laquelle Charpit avait rencontré des difficultés insurmontables, et que pour cette raison Pfaff avait abandonnée. Pour généraliser la méthode de Lagra n ge, Jacobi dut s’appuyer sur les propriétés des intégrales des équations de la forme dynamique (1). Il découvrit la plus importante de ces propriétés dans un théorème démontré par Poisson dans son premier Mémoire „Sur la variation des constantes arbitraires** (Journal de TEcole Polytechnique, 15® Cahier); ce qui explique l’enthousiasme avec lequel Jacobi s’exprimait au sujet de ce théorème, dans une lettre écrite à l’Académie des Sciences de Paris, peu de temps après la mort de Poisson (Comptes rendus, 1840, p. 529).

Les découvertes de Hamilton et de Jacobi ont servi de base aux recherches de plusieurs autres géomètres, et les travaux de Liouville, de Bertrand, de Donkin et de Bout ont considérablement élucidé la théorie de l’intégration des équations de forme canonique, et élargi le cercle de ses applications. Le Traité complet de Jacobi sur cet objet, dont la publication avait été annoncée dès l’année 1840, n’a paru que longtemps après la mort de l’auteur, en 1861*). Dans ce travail, Jacobi expose la nouvelle méthode d’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et, comme application de cette méthode, la théorie de l’intégration des équations de la forme (1), avec les exemples les plus importants. Ce Mémoire renferme l’exposition systématique tant des propres découvertes de Jacobi dans cette branche de l’Analyse, que des résultats obtenus par les autres mathématiciens, dont les travaux ont le plus contribué à la perfectionner. L’ensemble des recherches que nous venons de mentionner constitue l’addition la plus importante qui ait été faite de nos jours à la théorie générale des équations différentielles.

Ayant exposé, dans les premiers chapitres de ce travail, la méthode de Jacobi pour l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, je vais, pour terminer, présenter les théorèmes les plus importants sur lesquels repose la théorie de l’intégration des équations de forme canonique.