C. G. J. JaeoM

Imschenetsky: Sur Vintègralion des équations

idxx dx.2,

dt ~ dyi dt ’

dyi dH dy^ __

dt dxi ^ dt ~~ dx^* * * *

où l’on suppose

dxn dH

dt dyn

dt ~~ dXn

H — P {t) Xm y\9*’* y 11)9

F désignant une fonction donnée de ty Xn, yif» yn-

On appelle intégrale des équations différentielles (1) une équation

ü=za.

dans laquelle a est une constante arbitraire, et V une fonction de t, Xi,.., Xji, yifj ym «e renfermant point a, et telle, déplus, que sa dérivée totale par rapport à t se réduise identiquement à zéro, lorsqu’on élimine, au moyen des équations données (1), les dérivées des fonctions Xi,,., Xn, yrn prises par rapport

à cette variable t.

125. La dérivée totale de la fonction ü par rapport à t a pour expression

^djü dü^ dü d^ djüd^

dt dt * 0.ri dt dt^'* ' dxn dt * %» dt

cJ/H

Si l’on y substitue les valeurs de tirées des équa-

tions (1), on devra avoir identiquement

dt ^ dxi dyi dyi dxi dxn dyn dyn dxn~~ ’

identité qui peut encore s’écrire, au moyen de la notation de Poisson, sous la forme

Donc l’équation (2) fournit le critérium d’après lequel on peut juger si une fonction donnée JJ, égalée à une constante arbitraire, représente ou non une intégrale des équations (1). Si Ton substitue, par exemple, à la place de ü dans l’équation (2), on voit que le second terme du premier membre prend la forme H), et par suite se réduit à zéro; il reste alors le terme

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. Vil, §.27. 161

qui est aussi égal à zéro , lorsque H ne eontient pas t explicitement. C’est ce qui a lieu effectivement pour les équations de la Dynamique de ta forme hamiltonienne, dans le cas où l’on peut appliquer le principe des forces vives. Alors

H — const,

est une des intégrales des équations (1), ©t s’appelle l’intégrale des forces vives. Mais il n’en est plus ainsi dans le cas plus général que nous considérons actuellement, et dans lequel on suppose que H contient t explicitement.

126. La solution complète des équations (3) se compose de 2w intégrales distinctes, renfermant 2?^ constantes arbitraires. En résolvant les équations intégrales par rapport à ces constantes, on pourra les ramener à la forme

gpj zr: «J, ~ rpn — ant

'Ipl = 6j, XfJ2, = Ô2, .., 'Ij^n ™ àn-

«1, 61,.., aji, bn représentant des constantes arbitraires, et cpi, ipi,.., q)n, '^n des fonctions de t, œi, Vn, ne renfermant

point ces constantes, et satisfaisant chacune à la condition (2).

Démontrons maintenant la proposition qui sert de base à la théorie de l’intégration des équations (1).

Tîiéorème I. Si l’on connaît n intégrales des équations (I), (3) cpi — «1, «pa — «2» - • J

telles que la condition

m=\ dp m ^f/m

VX mj

soit satisfaite pour toutes les valeurs 1, 2,.., n des indices ^ et les n autres intégrales, qu’il faut joindre aux intégrales don- ?nées (3) pour obtenir le système complet des équations qui contiennent la solution des équations (1), s’obtiendront:

En intégrant la diü'éreulielle exacte

2^1 dxx + . . + yndxn — it, x^ , . . , Xm , yn) dt,

[ où l’on aura remplacé 2/i3**3 2/« leurs valeurs tirées des équa tions (3);

îmschenetsky: Sur l'intégration des équations

2^. En égalant à de nouvelles constantes arbitraires bn les dérivées partielles de l’intégrale de la différentielle précé» dente, prises par rapport à «i,.., a».

127. Les conditions données (4) font voir, en vertu du Théorème II du §.17, que les valeurs de yi,.., yn, tirées des équa» tions (3), satisfont aux conditions

^yi

dxk dxi ’

pour toutes les valeurs 1, 2,.., n des indices i et k; par consé» quent, l’expression yidxi-{-.. yndxn est une différentielle exacte par rapport aux variables Xiy.., Xn. De plus, si l’on désigne par (H) le résultat de la substitution des valeurs de yn dans

la fonction F(t, Xi,..s Xn, yii*-> nous allons démontrer

que l’expression

(0) yi dxi + . . -f yndxn — {H) dt

est aussi une différentielle exacte, par rapport à Xi,..., x„, t. Pour cela, il suffit de vérifier que les conditions

^(H) dyi

' dxi dt

sont satisfaites pour toutes les valeurs de f=l, 2,.., n.

Or on a

dxi ~~ dxi dyi dxi dyn dxi

ou, en vertu de l’égalité (5) et des équations données (I),

dxi dt ^ dt dxj dt dxù

Nous avons supposé, de plus, qu’au moyen des équations (3), yi est exprimé en fonction de t, Xi,.., Xn\ par suite

dt dt ^ dxi dt '"^dxn dt *

Substituant cette valeur de dans l’égalité précédente , il vient, après réduction,

d{H) _____ dxi dt

aux dérivées i)artieUes du premier ordre.

Ch. Vil, 27. 163

et cette égaiité a lieu pour toutes les valeurs de ^=1, 2,..., ce qu’ii fallait démontrer.

En intégrant, par la méthode connue, la différentielle exacte (6), on détermine son intégrale V en fonction des variables t, Xif.,, Xn et des constantes «î,.., ««, et en outre, d’une constante qui y entre par simple addition. On aura, par conséquent.

St ~~

Les n premières de ces équations représentent évidemment les équations (3), résolues par rapport à yj,..., yn\ la dernière est une identité.

128. Passons maintenant à la seconde partie du théorème, et démontrons que les équations

dj^

dax.

dJ^

ddn

— bn

sont des intégrales des équations (î). Pour cela, il suffira de vérifier, d’après ce qui a été établi tout à l’heure, que les différentielles totales par rapport à t des premiers membres des équations (8) se réduisent à zéro par l’élimination des dérivées

^LüOfi

au moyen des équations (1). En effet, on a

düi

dai

Sui dxi

dXn

~ ht

dxi dt ^ ‘

dXn

dt'

ou, en intervertissant l’ordre des différentiations partielles de la

fonction F,

(aj r\

1 Oüi

-lie

^ dxx dxi

~TaT~ dt + • • • ' '

ÔXn

dx U

doi

Soi

dt ’

Ensuite, en ayant égard

aux équations (7) et (o), et

éliminant, à

dxx

dxr,

l’aide des équations (1), les dérivées vient

lîïisckenetsky: Sur l’intégration des équations

Soi BOi)

dt dai dai ô?/j ‘ * * dai dÿn

Mais, d’après îa manière dont nous avons défini la quantité (//), on a

dai di/i a«î ’ ‘ ' dÿn dai

Donc le second membre de Téquation précédente se réduit identiquement à zéro, et par suite ii en est de même du premier, de sorte qu’on a

pour toutes les valeurs de ^=:l, 2,.., n. démontré.

Le théorème est donc

î29. La démonstration précédente conduit à des conclusions importantes, savoir, que;

1^. Le problème de l’intégration des équations (î) est résolu dès que l’on connaît la fonction F, puisqu’alors les équations (7) et (8) fournissent le système complet des 2/2 intégrales des équations données.

2^. La fonction V peut être déterminée immédiatement de la manière suivante. L’équation

comme nous l’avons déjà remarqué, doit avoir lieu identiquement. Or son second terme (H) représente le résultat de la substitution' dans la fonction F {t, oci, . . , Xn, des valeurs de y^i..,yn

tirées des équations (3), et ces valeurs sont les mêmes que celles que donnent les équations (7). Par conséquent, la fonction V . doit changer en identité, c’est-à-dire vérifier l’équation

dV dV dV

Comme la fonction F, outre les variables t, .Tj,.., Xn, doit contenir n constantes arbitraires Oi,.., On (sans compter celle qui y entre par simple addition), ii s’ensuit de là qu’elle doit être déterminée comme une des intégrales complètes de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre (9).

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch VU, 27. 165

ioO. Les coîicîusions précédentes, déduites comme conséquences du Théorème î, ont une telle importance pour la théorie de l’intégration des équations (1), qu’il ne sera pas inutile de les dé montrer, ou, pour mieux dire, de les vérifier directement.

I!. Si F représente une des intégrales complètes de l’équation (9) [c’est-à-dire une intégrale renfermant, outre la constante qui y entre par simple addition, n constantes arbitraires Uj,.., «n, de telle manière que ces dernières ne puissent être toutes éliminées qu’en faisant usage de toutes les n^l équations qui donnent les valeurs des dérivées partielles de la fonction F par rapport à .2^1,.., Xn, t\, cette intégrale complète jouira des propriétés de la fonction principale de Hamilton, c’est à-dire qu’elle donnera le système complet des 2w intégrales des équations (î), sous la forme des équations (7) et (8), parce que les équations différentielles (î) sont une conséquence directe de ces intégrales.

En prenant une des équations (8),

et la différentiant totalement par rapport à t, on trouve

. AZ ^ i.‘ . A

^ daihi ^ düidxi dt * * • ■« Qaidxn dt

Si l’on différentie, d’autre part, l’équation (9) par rapport à «i, et qu’on ait égard en même temps aux équations (7), il vient

didai ^ 0yi dxidai

dyn dxndoi

En faisant successivement, dans les équations (6) et (c), z = 1, 2,.., 91, on obtiendra deux systèmes d’équations, par la compa-

' raison desquels on voit aisément que les valeurs de

tirées du premier, sont identiques respectivement avec les valeurs 0F 0F

de la forme

J tirées du second. Par suite, n des équations (1),

dxi 0 F

dt diji ’

sotd une conséquence nécessaire des équations intégrales (7) et (8), c’est à-dire qu’elles sont satisfaites par ces intégrales.

166 hnschenetsky : Sur V intégration des équations

131. On peut donner à la conclusion précédente une plus grande rigueur, et en même temps montrer plus clairement la nécessité de la condition, que V soit une intégrale complète de l’équation (9).

En retranchant les équations (c) des équations (6), on obtient n équations de la forme

^ ^ daidxi\ dt dyi) " ' daidxnK dt dyn) ’

pour les valeurs de f=:l, 2,.., n, Si l’on considère dans ces équations les quantités

dxi dF dxn BF

dt dyi ’ “ ’ dt dyn

comme des inconnues, il en résulte alors de deux choses l’une: 1® ou chacune de ces inconnues est égale à zéro, 2® ou le déterminant formé avec les coefficients des équations {d) est nul. Or ce déterminant peut se mettre sous la forme

^Bxn

Büi ’ “

’ Bai

t Bttn Bün

et l’hypothèse de ^ = 0 entraînerait comme conséquence la pos sibilité d’éliminer toutes les constantes «i,..., en ne faisant usage que des n premières équations du système

.Tl,.., Xn, «1,.., dn).

0^ — — üiu (t } X\ s • • J Xfi , Uj , . . , Um) ,

0^ F (t, Xi J . . J Xn t • J d)n)f

qui donne les valeurs des dérivées partielles de la fonction V par rapport à x^,,., Xn» t; ce qui est contraire à la condition que V soit une intégrale complète de l’équation (9). Donc, etc.

Des comparaisons analogues font voir également que les valeurs

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. VU, §. 27, 167

dxi ^ Al dxn dF A«

dt %i A di dyn ~ A

Il tirées des équations (6) et (c), sont complètement déterminées, puisque Ai.--^ A« peuvent s’annuler, non plus que A» et par I la même raison.

132. Démontrons maintenant que la seconde moitié des équations (1) est satisfaite par les équations intégrales (7) et (8). En différentiant l’équation (9) par rapport à xi, et ayant égard à la

condition ainsi qu’aux équations (7), il vient

^ I ^F dÿi

ht ^ dxi * 0^1 dxi ^ ^ dyn dxn ~~

I En diflférentiant ensuite par rapport à t l’équation yi = ^ » on trouve

dyi ^ ^ , I

dt 0^ ^ dx^ dt * * * ‘ * • ^Xn dt *

Ajoutons cette équation à la précédente, après avoir transposé dans le second membre de celle-ci tous les termes, à l’exception

L, -i ' f de ô — ; il vient

|; dXi

dyi dF dyi fdx^ __ d^ /dxn dF \

dt ^ dxi dxi V dt dyiJ ^ ^ dxn V dt dyn) ’

mais, d’après ce qui a été démontré,

dxi dF dxn dF ^

dt dyi ’•••*’ dt dyn ’

par conséquent,

dyi ^ d^

dt “* dxi *

et des égalités semblables auront lieu pour toutes les valeurs de i = 1, 2,.., n. Donc le théorème est démontré.

133. La démonstration de la proposition précédente peut encore se présenter sous cette autre forme.

En appliquant la méthode de Jacobi à l’intégration de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre

(9) f y -Y (t, ^1 , . . , Xn» y\i ' ' » y II} — 0,

Imsc hene Isky : Sur V intégration des équations

où l'on pose, pour abréger, et généraieiuent ^ on

obtient les n équations

f\{t, ^2^1,.., Xfii , jÿn) = Oj,

Xm y<2.i-'» yrii fti) ~ Oif,

\ fn{t) ^1,.., Xn» yji) ün—l) ™ f/ji ,

Oi, ‘, (in étant des constantes arbitraires, et les fonctions étant déterminées de manière à satisfaire aux conditions

(/,/,) = 0, et (fi,fk) = Q,

pour toutes les valeurs 1, 2,.., n des indices i et k.

En éliminant les constantes «i,*., «w i des premiers membres des équations (iO), au moyen de ces équations elles mêmes, on réduira ces équations à la forme

(11) Hi ~ (II, H2, “ (l^,>., Hji ™ On,

Hi,.., En étant des fonctions de t, Xi,.., Xn, yit -^ y» ne contenant par la variable y, et telles qu’on ait, en général,

Ei ^ fi{t, Xi,.., Xjii yU"} ytiy fl, E^^y, Ei—\).

En vertu de ce qui a été démontré au §. 21, les premiers membres des équations (11) doivent satisfaire aux conditions

(fEi) = 0, et {Ei,Ek)=-Q,

pour toutes les valeurs 1, 2,.., n des indices i et k.

La première série de ces conditions démontre que les équations (11) sont des intégrales des équations (I). En effet,

dJHi

dXm*

ZRi

dym

dffi

ce qui démontre, d’après la condition (2), que l’équation Ei = ai est une intégrale des équations (1).

Les conditions {Ei, //jt) = 0 sont celles-là mêmes qui, d’après

aux dérivées partielles du premier ordre.

C/l. Vil, &■. 27. 169

le Théorème I (art. 126), doivent être satisfaites par les fonctions Par suite, l’intégrale de l’expression

yidXi-\- . .-{^yndxn — Xi,,., Xn, yn)dt.

où yif, yn doivent être remplacés par leurs valeurs tirées des équations (10), jouit des mêmes propriétés que la fonction V du Théorème I.

134. Remarque. Dans la démonstration du Théorème I, nous avons vu que l’expression (6) doit être une différentielle exacte. On peut démontrer de la même manière que l’expression

x:idyi^..i^Xndyn-jrF(t, yi,->, yn)dt

doit être une différentielle exacte, si l’on y remplace Xi,..., Xn par leurs valeurs tirées des équations (3). 11 est facile de voir,

d’après cela, que, si l’on désigne par W l’intégrale de la différentielle précédente, ou une intégrale complète de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre