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on pourra mettre le système complet des 2w intégrales des équations (1) sous la forme

dW

dW

dui

dW

dW

dW dyn ~

135. La Remarque précédente nous offre un exemple de la manière dont le même problème de l’intégration des équations (1) peut être ramené à l’intégration d’équations aux dérivées partielles de formes différentes, (9) ou (12), suivant le choix que l’on a fait des variables indépendantes. Cela nous donne l’occasion d’exposer la méthode tout à fait générale, indiquée par Jacobi (Nova methodus, p. 122, §. 57), pour le changement I de variables tant dans une équation aux dérivées partielles du premier ordre, que dans le système d’équations canoniques qui lui correspond; méthode qui fournit des équations transformées du même type que les équations primitives.

Imschenetskp: Sur V intégration des équations

La forme générale d’une équation aux dérivées partielles du premier ordre peut être représentée par

0^ T * (tj • • J

dV

0^1*’ ’ d.Zn

ou, en posant généralement ,

Le système canonique correspondant, dont l’intégration complète dépend de la détermination d’une intégrale complète de l’équation (A), se composera des 2n équations

dxi 0F dyi 0F

dt dyi ’ dt 00^1 ’

i désignant successivement chacun des nombres 1, 2,.., n.

L’équation (A) donne l’expression de l’une des dérivées par-

tielles en fonction des autres dérivées partielles y» et i jç

des variables indépendantes #, Xi,.,., Xn\ donc elle est é qui va- F lente à l’équation

(O É?F — F(<, Xnt yi,>,, yn)dt-lyidxi A- ..-)ryndxny

et, si nous exprimons l’équation (C) au moyen des nouvelles va- ! *‘ riables, nous transformerons en même temps l’équation (A), et i par suite aussi les équations (B),

136. Conservons la variable t sans changement, et introduisons, au lieu de Xi,.., Xn, de nouvelles variables 9'i,..,çn. Pour cela, entre les anciennes variables et les nouvelles on devra donner n équations. En supposant l’existence de ces équations, sans toutefois spécialiser leur forme, prenons une fonction entièrement arbitraire IJ des anciennes variables t, Xi,,.i Xn, et des «u nouvelles qn- En faisant subir des accroissements infiniment i

petits aux variables de l’un des systèmes, celles de l’autre sys- | tème prendront des accroissements infiniment petits correspondants, et la différentielle totale de la fonction IJ aura pour ex- Di pression * j i;

Si l’on retranche de cette équation l’équation (F), il vient

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch.Vliy §,28. 171

d(U—r) = + Xi,.., Xn, yi,.., y») I dt

fdü \ , /dU \ , at7 , BU ^

+ - ÿ‘) + ■ • + Vëi;; - !/-) +•• +07„ ‘^9”-

Comme la dépendance entre les anciennes variables et les nouvelles n’est pas encore fixée, déterminons -la de telle manière que l’on ait

dXi “■ dXi ’ ’ dXn

En désignant, de plus, par W la différence des deux fonctions LJ et F, nous donnerons à l’équation précédente la forme

dW — + ^n, ^n)J dt

dü , dü ^

Dans le second membre de cette dernière équation, le coefficient de dt représente évidemment la dérivée partielle par rapport à de la fonction IF = (7 — F; voyons comment s’expriment les dérivées partielles de cette fonction par rapport à çi,..,

Pour cela, en différentiant W par rapport à qt, et considérant Xi,.., Xn comme des fonctions de cette variable, on a

aD^a(t7-F)

a^i dqt

a^i ^ dxi dqi “^ * * * dxn ^qi ^Xi dqi ’ * ' dxn ^qi

dü /a ü aF\a^i /au a f \ dxn

dqi ^ \dxi dxiJ dqi Va^rn dxn) dqi *

ou, en vertu des équations (Z)),

ajF

dqi

au

dqi

Des équations semblables auront lieu pour toutes les valeurs de i = 1, 2,.., n. Donc

dW=[-~ + F(i. X,,

•» ^n, IJi > • • , yn) I dt

dW , dW ,

Imsc heiie tsky: Sur IHntègralion des équations

Il ne reste plus maintenant qu'à exprimer le coefficient de dt au moyen des dérivées partielles de la fonction W et des variables qi,.., Çn- Pour cela, en ayant égard aux équations (/)), nous le ramènerons à la forme

0^ “f" F {tf üûn

dü

dæi '' 8a:)

sous laquelle il ne contient que les variables a:n et Çi,..

qn- Si ensuite, à l’aide des équations (£), on exprime Xi,..

Xn en lonction de t, Çi,.., qm ramènera le

coefficient considéré à la forme demandée. En représentant cette forme par

8W dW^

<p(t, l/l,---, qn,

on aura ainsi