W7 7, SW" . SW'. . 8W

dW=-g>(t, 9i,.., qn, 8^’ ’8^)dt + ^dÿ,+..-i^g—dqn-

De cette manière, l’équation (C) se trouve exprimée au moyen des nouvelles variables, et comme elle est maintenant équivalente à celle-ci

djv

8w aip.

+ qi,--;qn, > ■ • > — 0.

cette dernière équation représente la transformée de l’équation

{A). Enfin, si l’on pose généralement = pi, on pourra écrire

immédiatement le système canonique correspondant à l’équation {A'), et composé des 2n équations

dqi 8q) dpi 8(p

dt dpi dt 8qi^

pour ^ = 1, 2,.., w; et ce système représente le système {B) exprimé au moyen des nouvelles variables.

137. Dès que l’on connaîtra l’intégrale complète de l’une des équations (A) ou (A'), l’intégrale complète de l’autre pourra se déterminer au moyen de la relation

WF ü.

En effet, supposons connue l’intégrale complète de l’équation (A'), ^ Ç'i, -, qn, «1,.., a„)-fcon8t..

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. Ml, §. 173

etn étant des constantes arbitraires. Au moyen de la relation précédente, on aura

V = ü — % — const.,

et les variables Çi,..» çn, qui entrent dans les fonctions ü et pourront être exprimées en t, Xn, au moyen des n équa-

tions {E).

Si, au contraire, on connaît l’intégrale complète de l’équation (A),

.Tl,.., Xny fli,.., ««)+ const.,

on aura alors

W= U — 'ijj — const,

et, dans l’expression de W, les variables Xi,.., Xn pourront être éliminées au moyen des n équations (/>).

Si l’on fait, en particulier.

Î7 — <^191 “f" • • “l~ XnÇni

on trouvera que les équations (Z>) et (E) prendront la forme

dV dW

Par conséquent, les équations (C), (A) et (B) se transformeront dans les suivantes.

dW= F(t,