SW

8ir

Çn) = 0,

dqi ^ djpi ^

dt dpi ’ dt dqi *

pour 1=1, 2,.., n.

|! Les équations (.4) et (Ai) ont évidemment entre elles la :l même corrélation que les équations (9) et (12) du paragraphe pré- ! cèdent; donc la dépendance entre les intégrales des deux pre- ; mières équations ou entre les intégrales des deux dernières s’ex- I primera de la manière suivante.

Imschenetshy : Sur V intégration des équations

W -i- V= .. = xiyi + . . + Xnyn-

138. Les conclusions générales relatives à la théorie de l’intégrations des équations canoniques de la forme générale (1) s’appliquent aussi au cas particulier, qui représente les équations du mouvement dans les questions où le principe des forces vives a lieu, et pour lequel la fonction donnée H ne contient pas t explicitement; c’est-à-dire qu’elle est de la forme

H f , Xm y\> • • 9 yn) •

Les équations différentielles conservent leur type primitif

dxi dH dyi dH

^ dt dyi’ dt ~ dxi

pour i = 1, 2,..., w; mais maintenant la variable t n’y entre que par sa différentielle dt. En éliminant celle-ci, on a les 2w — l

équations

dxx dxn dyi dyn

dyi dyn dxi dxn

entre les seules variables Xi, yi,.,., Xn, yn- L’intégration complète de ce système d’équations donnera les expressions de toutes les variables en fonction de l’une d’entre elles, de Xi, par exemple, et de 2w — 1 constantes arbitraires «i,..., Si l’on porte

ces expressions dans i équation ~

on obtiendra la der-

nière intégrale du système (1), la seule qui renfermera i explicitement, au moyen d’une quadrature.

t -|“ Cl2n

dxi

Cela fait voir que le système complet des intégrales des équations (1), résolues par rapport aux constantes arbitraires, peut être représenté par 2« — 1 équations de la forme

«I = cpù

et par une équation de la forme

«271 — (p2n — tf

mix dérivées partielles du premier ordre. Ch. Mil, 28. 1 75

(Pi et (p2n désignant des fonctions qui ne contiennent pas t explicitement. La méthode générale du §. 27 donne les intégrales des équations (1) précisément sous cette forme, mais par une voie plus simple.

J39. D’après la remarque que nous avons faite au commencement du §. 27, en posant

(2) H = const. = h J

nous aurons immédiatement une des intégrales ne contenant pas t des équations (1). Supposons qu'avec cela on connaisse encore n — \ autres intégrales de ces équations.

(3) (pi — «1, 9^2 — ^2 > • * » (pn—\ — fln—\y

On— 1 étant des constantes arbitraires, et qpi,..., cpn-\ des fonctions de Xn, yn> ne contenant pas t explicite-

ment, et satisfaisant aux conditions

(4) {(pu (pk) = 0,

pour toutes les valeurs 1, 2,.., n — l des indices i et k.

Sous ces conditions, il est facile, à l’aide du Théorème 1 du §. 27, de déterminer les intégrales restantes des équations (1). La démonstration de ce Théorème se trouve même simplifiée. En effet, l’expression

yidxi ..•^yndXn--f{Xi,.., Xn, yi, -, yn)dt,

en y substituant les valeurs de yn tirées des équations (2)

et (3), devient une différentielle exacte, puisque les égalités

auront lieu pour toutes les valeurs 1, 2,..., n des indices i et k, en vertu des conditions (4) et de la supposition que les équations (3) représentent des intégrales indépendantes de t des équations (l).

Ensuite, les égalités = \{H) représentant ce que

devient / lorsqu’on y substitue les valeurs de yi,.., yn\ sont satisfaites pour toutes les valeurs de 2,.., w, parce que yt ne

contient pas explicitement t, et que, l’équation (2) étant du nombre de celles qui ont servi à déterminer les valeurs de yi,..., ym la substitution de ces valeurs réduit identiquement son premier membre à la constante h.

L’intégrale de la différentielle exacte précédente a pour expression

lînschenetsky: Sur ^intégration des ègualions

ü= V—ht,

V désignant l’intégrale de la dijOTérentielle exacte yidxi + . . . + yndxn-

En vertu du Théorème I du §. 27, les n intégrales cherchées des équations (1) s’obtiendront en posant

dJl

dai ôoi !»• • • a Qan-i dan-1

dh~dh

bn—i, g désignant de nouvelles constantes arbitraires. En effet, si l’on représente par a une des constantes arbitraires «i,.. a„i, h, on a

dxn

dxi

~dï + ■

Bxn

~di

dxi

dÿi +

^dx„

ôa

dy„

Sa ’

ou enfin

ci O oa

dt da

Or l’expression {H) est identiquement égale à h\ donc, pour a = «1 , . . , On— 1, on a

et, pour a — h,

Donc on a identiquement

aux dérivées partielles du premier ordre.

Cil. VU, §. 29. 177

pour toutes les valeurs de a~ ai,.., On—i, h.