Remarquons que l’égalité

g~ n’est pas détruite.

lorsqu’on prend les dérivées partielles de ses deux membres par rapport à a. On aura donc, pour toutes les valeurs I, 2!,..., n des indices i et k.

dxk

Oonc le système des intégrales (5) peut s’obtenir sans déterminer la fonction V, et en intégrant une suite de différentielles exactes; et il pourra se mettre sous la forme générale

en faisant successivement i = 1, 2,..., n — 1.

Quant à la détermination immédiate de la fonction V, il est dV dV

clair que les valeurs yi =

-K — doivent être iden-

vXn

tiques avec celles que l’on tire des équations (2) et (3) ; donc la fonction V doit nécessairement changer en identité l’équation

et il suffit qu’elle soit déterminée comme intégrale complète de cette équation.

j 141. La méthode que nous venons d’exposer ne s’applique pas, il est vrai, avec le même avantage à la résolution des différentes questions de Dynamique, de nature plus ou moins compliquée. Ayant seulement en vue d’éclaircir par des exemples particuliers la théorie précédente de l’intégration des équations de forme canonique, je vais traiter une des questions les plus simples, à la solution de laquelle elle s’applique sans aucune difficulté.

Considérons le problème du mouvement d’un point matériel attiré vers un centre fixe par une force exprimée en fonction de i distance.

Jmsch ene tshy : Sur V intégration des équations

Prenons le plan dans lequel doit s’effectuer le mouvement pour plan des coordonnées rectangulaires æ, y, dont l’origine est au centre d’attraction; désignons par r le rayon vecteur du point mobile, et par ç?(r) la force accélératrice qui agit sur ce point dans la direction du centre d’attraction. En considérant les coordonnées ^ et 2^ du mobile comme des fonctions du temps on a» pour les expressions générales des composantes de la force accélératrice parallèles aux axes coordonnés, et D’un autre

côté, ces mêmes composantes, dans le cas actuel, ont pour va-

leurs respectives — “ W ©t — ^ ç) (r). Donc les équations du

mouvement sont

dt^ '

en faisant = a:* -f y^.

Pour obtenir l’intégrale des forces vives, ajoutons les équations (1), après les avoir multipliées respectivement par dx, dy, ce qui donne

dxd^x -f dyd^y xdx -|-

d’où Ton tire, en intégrant,

(2) + y'^) +/9 (f) dr = const. = A,

x\ y' étant les composantes de la vitesse du mobile parallèlement aux axes des x et des y, savoir

dx , du - — x', —

di—^’ dt — y

Si l’on remarque maintenant que l’on a

dH , dH dfcp{r)drdr

dr dx

8 fcp (r) dr 8r , sV

- ■ dr" 57.= 9>(r)

SH ; SJl

dy' ~ y ’ 8y

on pourra ramener les équations du mouvement (3) et (1) à la forme canonique ordinaire /

avx dérivées parlietles du premier ordre.

Ch, VII, 5. 29. ] 79

dt dx' * dt dx^

Èl — ^Æ

dt dy' ’ dt dy '

Comme il n’entre dans ces équations que quatre fonctions inconnues de la variable t, il suffit de connaître, outre l’intégrale (2), une autre intégrale qui ne renferme pas le temps explicitement. Le principe des aires fournit l’intégrale demandée. Si l’on élimine, en effet, entre les équations (1), les termes qui contiennent r, il vient

, , dy dx^ dt

d’où l’on tire, en intégrant,

(4) q) = xy' — yx' ~ const. = a.

La condition (H, (p) — 0 doit être évidemment satisfaite, ce qu’il est, du reste, aisé de vérifier directement, puisque

(H, q>) = — <p(r)^.ÿ — x' .y' + cp (r)^ . x + y' . x' .

Ensuite il faut tirer des équations (2) et (4) les valeurs de x' et de y', qui rendent x'd.'c -{- y'dy une différentielle exacte. Pour cela, en éliminant y' de l’équation (2) à l’aide de (4), on obtient une équation du second degré en x',

{x^ + y'^) 2ay ,x' = 2 [A — /g? (î*) c/r] x^ — a^,

d’où, à cause de x^-\-y^ = r^t et en faisant, pour abréger, R=z V^2[/i — f(p{r) dr] — a®.

on tire

On trouve de même

f — ay ^ xR

Donc

, aa? + y R

av = . U

IX y , dr -,

— a . d arctaiig -- 4- — /r,

Imsc hene tsky : Sur Cinlégralion des équations

d’où l’on tire, en intégrant,

F == a . arctang + Ç ^ , B..

Maijitenant les deux intégrales du problème qui restent à trouver s’exprimeront comme il suit,

dV ^ y ~ Pdr ^

0a = ar«tang- ir J ;^=6 = c«nst.,

dV Prdr ^ !

= -< = », = const.

La première de ces intégrales donne l’équation de la trajectoire du point mobile; la seconde donne le temps en fonction du ; rayon vecteur. Les quadratures qui y entrent pourront généralement être déterminées, lorsqu’on donnera la forme de la fonction i

cpir). En supposant, par exemple, q)(r) = p. étant une con- ^

stante, on obtiendra des résultats conformes à ceux que les Traités » de Mécanique établissent ordinairement par une autre voie.

Remarquons encore que la fonction F représente une intégrale i complète de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre !

que l’on tire de i’équation (2), en y remplaçant æ' et y' par leurs

. dV dV valeurs ^ et

oæ üy

142. Pour terminer cette esquisse de la théorie de l’intégration des équations simultanées aux différentielles ordinaires de forme canonique, considérons une propriété très -remarquable de leurs intégrales, qui constitue le Théorème de Poisson, et que noos avons déjà établie d’une manière indirecte au §. 18, après avoir indiqué au commencement de ce paragraphe (art. 40) sa haute importance dans la théorie de l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. La démonstration la plus directe et la plus simple de ce théorème, que nous allons exposer tout à l’heure, montre eftectivenient qu’il est une conséquence immédiate de l’égalité trinôme qui exprime le Théorème I du §. 17. De là il est facile de voir que l’existence de cette

mix dérivées partielles du premier ordre»

Ch. VU, ^.30. 181

identité pouvait être conclue en s’appuyant seulement sur le théorème de Poisson.

Reprenons le système canonique de équations de la forme

dxi dH ^

~dt “ dt

rs TW

dt 'dXi

en supposant H =:= F {t, Xi, ^n> pn), et donnant à l’indice

^ toutes les valeurs 1, 2,.., n. Soient

(2) (p(t, xi, x„y 2^n) = const., Xi, yi,.., Xn, ^«) = const.

deux intégrales de ce système, ç) et t/; étant des fonctions données. Le théorème de Poisson consiste en ce que l’expression

égalée à une constante arbitraire, est aussi une intégrale des équations (1).

Comme les équations (2) représentent des intégrales de (1), les fonctions g) et 'ifj, en vertu de ce qui a été démontré au §. 27, doivent vérifier identiquement les conditions

at + /f) = 0, d- (^py H) — 0.

Si l’équation {cp, ifj) = const. et aussi une intégrale des équations

(1), la fonction (qo, ip) devra vérifier identiquement la condition

Or, en vertu de la formule (9) du §. 16, on a

En substituant ici les valeurs

il vient

Donc la condition relative à la fonction (cp, Tp) [irend lu tonne de l’équation

182 Imsc henetsky: Sur l’intégration des èquauons

[{H, (p), + [7), {H, iJ;)] + [(9, 1/;), ifif] = 0,

[(ff, <p). ,f.] + [(g>, 1W, Æ] + [(t. H), g>] = 0,

dont le premier membre, en vertu du Théorème 1 du §. 17, est identiquement égal à zéro, quelles que soient les fonctions. H, (JD, 1^. Ainsi le théorème est démontré.

La démonstration compliquée que Poisson avait donnée de son théorème était considérée comme un tour de force analytique. Hamilton, en ramenant les équations de la Dynamique à une forme plus simple, a simplifié en même temps la démonstration de Poisson. La démonstration précédente, qui s’applique aux équations canoniques de la forme générale, est due à Donkin.

143. Jacobi, le premier, a attiré l’attention sur l’importance du théorème de Poisson. Les applications indirectes qu’il en a faites plus tard aux questions générales de l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre et des équations de la Dynamique ont pleinement mis en lumière futilité théorique du théorème de Poisson. Pour ce qui est de ses applications directes et pratiques, c’est-à-dire de la possibilité, étant données deux intégrales d’un système d’équations canoniques, de calculer par leur moyen, à l’aide de simples différentiations, une troisième intégrale, puis une quatrième, et ainsi de suite; l’examen approfondi de cette question a montré à Bertrand*) que la méthode d’intégration fondée de cette manière sur le théorème de Poisson était loin d’avoir l’importance qu’on lui avait attribuée d’abord. En effet, les cas où ce théorème conduit réellement à une nouvelle intégrale se rencontrent beaucoup plus rarement que ceux où il n’atteint pas ce but. Quelquefois, aucune des combinaisons deux à deux, par le théorème de Poisson, des intégrales qui forment la solution complète ne donne une intégrale nouvelle; dans d’autres cas, la plupart d’entre elles jouissent de cette même propriété. Bertrand, profitant de cette circonstance, qui exclut évidemment la possibilité d’appliquer le théorème de Poisson au but proposé, a fondé là-dessus une méthode spéciale d’intégration des équations de la Dynamique de forme hamiltonienne. L’établissement théorique de cette méthode est fort simple; c’est pourquoi je vais l’exposer sommairement, et l’éclaircir en i’appli-

•) Mémoire sur l’intégration il es équations différentielles de la Mécitntqiic, par «9. licrtrAnd (Journal de Mathé 111. de Liouville, 1852, t. XVîl)

aux dérivées partielles du premier ordre. Cti. VII, ,$*. 30. 183

quant à l’exemple même qui a été traité dans le paragraphe précédent, afin qu’on puisse facilement comparer les résultats.

144. Examinons d’abord les cas où les deux intégrales données, (p = const., = const., ne conduisent pas à une nouvelle intégrale. Cette circonstance se produit: 1^ quand l’expression {(p, ip) se réduit identiquement à une constante déterminée quelconque; 2^ quand cette expression se réduit à une fonction de cp et de Tp, en sorte que l’équation (gp, 'ip) = const. ne donne pas une nouvelle intégrale, mais une combinaison algébrique des intégrales déjà connues.

Par exemple, si l’on suppose que, dans les équations (1), la fonction ne contienne pas t explicitement, on a l’intégrale

H == const.

En la combinant avec une autre intégrale quelconque

cp = const.,

cp ne contenant pas t explicitement, on a l’identité

Si l’on prend une intégrale

ip — < = const.,

ne contenant pas t explicitement, on obtient alors l’identité

En général, on peut démontrer que, si 9) = const. et 1^ = const. sont deux intégrales des équations (1), il existe une ou plusieurs intégrales de la forme co = const. , pour lesquelles l’expression {cp, cù) se réduit identiquement à zéro ou à l’unité. En effet, effectuons les substitutions indiquées par les formules

(Ç), TP) = Ipl, {cp, «ipi) = -ipa,.., {cp, = •

En prolongeant cette suite indéfiniment, elle ne peut continuer constamment à donner des fonctions distinctes ip, -ipi, 'ipa,.., puisque les équations (I) n’ont que 2n intégrales distinctes. Supposons que ipm soit le premier terme qui soit égal à une constante déterminée, ou qui s’exprime en fonction des termes précédents, en sorte que l’on ait

1pm= F(lp, Tpi,.., Tpm-l).

hnschen etsky : Sur l* intégration des équations

En prenant une fonction arbitraire co des variables on a

y s . Bco 8co ^ dco

(<P. co) = ^,^ + ^^^^+.. + F(iJ, rp,,..,

Donc, si nous voulons déterminer co de manière que (g?, co) soit identiquement égal à 1 ou à 0, on devra intégrer l’équation linéaire

dû) doû „ ^ dco ( ^

Donc les intégrales du système d’équations simultanées

d'il} ___ d^>m—i dco

~~ '^2 ^ I (ou 0)

donnent les valeurs de la fonction co au moyen desquelles on formera son expression la plus générale, qui sera l’intégrale générale de l’équation linéaire précédente.

La méthode de Bertrand pour l’intégration des équations de la Dynamique de forme hamiltonienne (1), où H =

Xn, yv)i consiste dans ce qui suit. On déterminera une intégrale des équations (1),

yn) — COllst.,

différente de l’intégrale des forces vives, et l’on cherchera une autre intégrale

y 1^'- y ^'f^n,yn) = COnst.

par la condition que la fonction 'i/; donne l’identité

(Ç), tp) = j ou .

145. Comme application, prenons le problème du mouvement d’un point matériel attiré vers un centre fixe par une force fonction de la distance.

Sous les mêmes conditions qu’au paragraphe précédent, les équations du mouvement seront

Tl = X

dî

dx'

dy' V r ^

aux dérivées partielles du premier ordre.

Cil. MI, $.30. 185

Le principe des aires donne l’intégrale

(2) /^= xy' —yx' = const.

Supposons que

(3) 1/; (x, y, x', y', t) == const.

soit une seconde intégrale. En exprimant la condition que cette intégrale, combinée avec la première, donne identiquement (ip, f) égal à zéro ou à l’unité, on a les deux équations linéaires

L’intégration de la première de ces équations conduit au système d’équations simultanées

dx dx'

dont une des intégrales est

dy dy' drfj

et il est facile de trouver les trois autres

x^-{-y^ = ca, + = Cg , xx' -f yy' = C4,

Cl, Ca, Cg, C4 étant des constantes arbitraires.

Par suite, en posant, pour abréger,

u=: x^-i-y% v = x'^ -f y'% w = xx' -{-yy',

on aura, pour la valeur la plus générale de la fonction qui satisfasse à la première équation (4),

(à) rfj = 7t (u, V, w),

7t désignant une fonction arbitraire. Si t devait entrer explicitement dans l’intégrale (3), on poserait alors

(«') 7}j = t n(u, Vy w).

Si l’on prend, pour déterminer if), la seconde des équations linéaires (4), on devra intégrer le système des équations

dx dx' dy dy' d^

dx dy __ dx' , dy ,

Imschenetshy: Sur V intégration des équations

dont les intégrales sont exprimées par les équations

X — ^ cos (t/; -f a), y = ^sin (i/z-l-a),

x' = ^cos('i/; + ^), y' — -BsinCi/^ + ZÎ),

a, A, B désignant des constantes arbitraires. De ces équations on tire aisément les suivantes,

xx' A-yy' = C"', arctang — -p -i/; =i

C', C", C'", étant des constantes arbitraires. Donc l’expression générale de la fonction tp satisfaisant à la seconde des équations (4), sera

1^= arctang - + cii)î(M, v, w),

cû étant une fonction entièrement arbitraire.

J46. Il faut maintenant compléter la détermination des expressions trouvées (a), (a% (6) de la fonction par la condition que chacune d’elles, étant égalée à une constante arbitraire, représente une intégrale des équations (1). Pour cela, il faut exprimer que les dérivées totales de ces fonctions par rapport à t se réduisent identiquement à zéro, par l’élimination des dérivées de X, y, x', y' prises par rapport à t. En commençant par l’ex-

pression (a).

on trouve

d'if^ dx dx dt

d'IP dy

+ dx’

dx'

d'IP i + dy'

dy', dt *

dyj

dit „

dit

dy ~

du'

d'il/

dtp

— dv

dy'~

dv *

et, en posant, pour abréger, ^ = 0{u), on a, en vertu des

équations (1),

dx'

= y çP(m).

Donc la condition ^=0 s’exprimera de la manière suivante.

anx dérivées partielles du premier ordre.

Ch, VU, S. 30. 187

SîTC

! (aræ' + yy') + 2 g- (xæ' +yy’)0 (u)

dre

Stv

Cette équation, linéaire par rapport aux dérivées partielles de TT, permet de déterminer la forme de cette fonction conformément au but proposé, au moyen de l’intégration des équations

Une des intégrales de ces équations sera 7c=:ci; une autre s’obtiendra au moyen de l’équation

du =■

d’où V — f 0{u) du = c^.

0(uy

Enfin, en écrivant les équations données sous la forme

vdu udv 2wdw vdu -f- udv

V uQ{u) v-{-u0{u) v-{-uO(u)*

on obtient l’équation

2wdw — vdu -{r udv, d’où l’on tire la troisième intégrale

— uv = 6*3.

Donc l’expression de la fonction 7t doit être

TE = JT[ü — /(P (u) du, uv — w^] ,

n désignant une fonction arbitraire; ou, en remplaçant u, v, w et O (u) par leurs valeurs, et remarquant que du = ^Irdr, et que

uv — =. — {xx' -\-yy'y^ — {ocy' — yx‘y^,

= 7t — n -P y'2‘ -f 9 /qp (r) dr , (xy' — yx')"^] ;

c’est-à-dire que l’intégrale des équations (1), 'i/^ = const., obtenue de cette manière, représentera une combinaison algébrique arbitraire des équations des forces vives et des aires, laquelle ne peut constituer une nouvelle intégrale.