En prenant maintenant la forme (a') pour représenter
Imschenetshy: Sur V intégration des équations
la fonction et exprimant la condition que = const. doit être une intégrale des équations (l), on a la condition
dt dx dt dy di ^ ^x' dt ^ dy' dt ’
ou, en mettant pour les dérivées de et de Xy x\ y^ y' les valeurs données plus haut,
Pour déterminer la fonction tc, il faut intégrer les équations
du dv dw
^wO{u) v-{-uO{u)
dont deux des intégrales sont les mêmes que dans le cas de l’art, précédent, savoir.
V — fO{u)du^Ci, — mü==C2.
Au moyen de ces deux équations, on trouve
w = V^C2 + Mü = V^C2 + w [ci + fO{u) du] ;
par suite,
^ du
dyU
2m; 2V^C2 + -f/(ï>(M)rfM]
d’où l’on tire la troisième intégrale
du __
2 V^C2 + M [c, +/ O (m) du] ®
Donc l’expression générale de 'ip sera
'Ifj = t
2 C2 + M [Ci + / <P (u) du]
-f n [ü — / CP (u) du, uv — m^] ,
n désignant une fonction arbitraire. Donc, en égalant cette fonction n à zéro, et posant
(5) = const.,
on obtiendra une nouvelle intégrale du problème, exprimant le temps en fonction du rayon vecteur, et de la même forme que nous avons obtenue par une autre méthode dans le paragraphe précédent.
aux dérivées partielles du premier ordre.
Ch. Vil, SO. 189
148. Pour compléter la solution du problème, examinons encore si les équations (1) admettent des intégrales de la forme
If; = arctang — + ©(«, v, w) = const.
Pour cela, on a la condition
d'>p drf/ dx dif^ dx' dif^
dt dxgdt ^dx'£dt dy dt hy' dt
où l’on substituera les valeurs
01/; 0ÛÎ
hx
U hu
^’dw
’ hx' 0» j* ^
01/; ar 0(0 0© , 01/; dœ ^ —
dy du' ’ dy' dv ' ^ ^ dw^'
en remplaçant les dérivées de x, y, x', y' par leurs valeurs données plus haut (art. 146); après quoi la condition considérée prendra la forme d’une équation linéaire
ex • ex . r . uv—w^
à cause de xyl — yx^ — Sf uv — w®. Pour déterminer la fonction a, on intégrera les équations
du
dv
dw
tidfo
^wO{u) v-\-uO (u)
\f uv—
qui ont deux intégrales communes avec les équations des art. précédents, savoir,
V — fO(u)du=:Ci, uv — to® = Cg.
Par leur moyen, on trouve
10= V^[ci +/0 (m) du\ u — c^\
donc
do3 =
du^ uv —
\f C.2 . du
^uw [Ci -f / (P (m) du] U —
d’où l’on tire la troisième intégrale
\^C2 . du
Par conséquant,
2mV^ [ci -\-f O {u)du] u — Ca
= Cg.
Imschenetshy: .9wr V intégration des équations
CO
SF c^,du
2mV^[ci -{- f ^ {u)du^ti — Ca
