r — / ^ (m) du, uv — w
Substituant cette expression de co dans la formule (b), on trouve, pour la valeur la plus générale de
ijj = arctang
\rc^,du
2m V^[ci -|-/<P (u) du^u — Ca 4-i2[v— mü — fo^].
La fonction SI est complètement arbitraire; en la faisant donc égale à zéro, et posant
. y r ST C».du
(6) ^ ~ arctang j — / o 4/1— X /• rf. / n ^
^ J 2 V [cx 4 / <P (m) d.u\ U — C2
on obtient encore une nouvelle intégrale du problème, laquelle fait connaître l’équation de la trajectoire du point mobile, entièrement identique avec celle que nous avons obtenue dans le paragraphe précédent.
CO
df
Jl
et
Id
di
bi
Si aux intégrales (2), (5), (6) on joint l’intégrale des forces vives
H = (a:'® 4^'®) — f (p(r)dr = const., nous aurons alors la solution complète du problème.
149. En considérant la marche de la solution du problème précédent, on voit qu’elle consiste en ceci: Après avoir déterminé une intégrale différente de celle des forces vives, nous en avons trouvé une autre renfermant le temps, d’après la condition que, dans la combinaison de cette intégrale avec la première, elle réduise la parenthèse de Poisson à zéro. La troisième intégrale, donnant la trajectoire, s’obtient par la condition que, combinée avec la première, elle réduise la parenthèse de Poisson à l’unité. L’intégrale des forces vives complète la solution. Bertrand a démontré que le succès de ce mode de solution n’est pas accidentel, et que cette méthode doit réussir dans tous les problèmes qui concernent le mouvement dans un plan, ou, plus généralement, lorsque les coordonnées des points du système peuvent s’exprimer au moyen de deux variables indépendantes. La démonstration de cette proposition est très -simple. Mais, ayant exposé l'essence du procède, je crois inutile d’entrer dans de plus longs détails.
ti(
qi
qy
CO
do
do
or
ce
da
DO
CO
Pl
qo
aux dérivées partieHes du premier ordre. Ch. VIH, 31. 191
