Chapitre VIll

Méthode de Cauchy pour l’intégration de l’équation générale aux dérivées partielles du premier ordre.

* 150. La méthode d'intégratioo d’une équation ou de plusieurs équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre, et, comme conséquence de cette méthode, la théorie de l’irdégration des équations de forme canonique, ont formé l’objet principal des chapitres précédents de ce Mémoire. Mais avant que cette méthode eût reçu son développement complet dans les travaux de Jacobi et d’autres géomètres, le problème de l’intégration de l’équation générale aux dérivées partielles du premier ordre avait été déjà complètement résolu par Pfaff, Cauchy et Jacobi lui -même. Les méthodes proposées par ces auteurs, tout en différant par le point de départ et par la forme, ont cependant un but commun: ramener le problème à l’intégration complète d’un système d’équations simultanées ordinaires de la forme des équations (10) (§.11). La nouvelle méthode de Jacobi, exposée cidessus , se distingue des méthodes qui l’ont précédée en ce qu’elle se borne à la détermination de la moitié du nombre total des intégrales satisfaisant aux conditions connues du système en question d’équations simultanées. La recherche de ces intégrales conduit à plusieurs systèmes d’équations simultanées ordinaires, dont l’intégration complète n’est jamais nécessaire; il suffît toujours de déterminer une quelconque des intégrales de chaque système.

Pfaff a trouvé la solution théorique du problème de l’intégration de l’équation générale aux dérivées partielles du premier ordre, comme cas particulier d’un autre problème résolu par lui "*), celui de l’intégration d’une équation de. la forme

X^dx2, J” • • X^ndx2,n ““ 0,

dans laquelle X|,.., X^n représentent 2n fonctions d’un pareil nombre de variables Xi,,,, X2n, lesquelles ne satisfont pas aux conditions connues de Fontaine ou d’Euler. La méthode de Pfaff conduit à l’intégration complète de plusieurs systèmes d’équations simultanées ordinaires, dont le premier seulement se tire

’) Abhandlungen der Berliiier Akadeinie, 1814 — 1815.

Imschenetsky: Sur V intégration des équations

immédiatement des données du problème, chacun des suivants ne pouvant être formé qu’après l’intégration complète du système co précédent. Cauchy, qui a fait choix d’un autre procédé, et ria Jacobi, qui s’est occupé de simplifier la méthode de Pfaff, ont pà démontré l’un et l’autre que, pour obtenir l’intégrale complète d’une eu équation aux dérivées partielles du premier ordre, il suffit d’intégrer complètement le premier des systèmes d’équations simultanées de la méthode de Pfaff. Considérant la parfaite conformité des mi conclusions finales des méthodes de Cauchy et de Jacobi, je iii me bornerai à exposer seulement- la première de ces méthodes de sous la forme la plus générale. p»