Soient Xm rr variables indépendantes; z une fonc

tion inconnue de ces variables;

Sî • 1 O

= /?i, pour 1 = 1, 2,.., w,

les dérivées partielles de cette fonction.

La forme générale d’une équation aux dérivées partielles du premier ordre peut être représentée par

(1) F{Xit.»y Xn» Z, pn) 0.

La détermination de la fonction z qui satisfait à l’équation (1) constitue un problème indéterminé de sa nature; et, en effet, l’expression la plus générale de z doit renfermer une fonction arbitraire. Mais Cauchy rend la question tout à fait déterminée, en y ajoutant cette condition complémentaire, que, pour une valeur particulière donnée de l’une des variables indépendantes, soit pour

ii(

la fonction z et ses dérivées partielles prennent respec- er

tivement les valeurs coi,.., co»; £ désignant une fonction de il Xi,,.f Xn-^i donnée arbitrairement, soit

/'(â^l,.., Xn~^l)f

G>n— 1 étant les dérivées partielles de cette fonction, de sorte que, en général.

Pif

eoi = , pour 2’= 1, 2,.., n — 1;

enfin, go» étant la valeur tirée de l’équation

^n—lf Uf J, 0)|,.., COn— 1» O») 9.

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. VIII, Si. 193

152. Pour déterminer la fonction z satisfaisant à toutes ces conditions, Cauchy applique la méthode du changement de variables indépendantes, employée pour la première fois par Ampère pour la résolution du problème actuel; dans le cas particulier de deux variables indépendanteSé

Concevons les n — 1 variables Xn.., Xn—i exprimées par un même nombre de fonctions distinctes de n~\ nouvelles variables |n-i et de l’ancienne variable Xn- Par suite de cela, z et/?* deviendront des fonctions de Xn et des ^i. En différentiant à ce point de vue, nous aurons les équations

dxn

dxi

+ Pn-

dXn-1 ,

8z dxi dxn-i

ej. ëlî + dïT'

En vertu de l’égalité

ëiiBxn BxnBli ’

on tirera des équations précédentes les relations

Bpn fBpi Bxy Bpi

Bli V0g:n Bli B^i Bxnj

/Bpk Bxk ^ Bxk\

“ k=l 'Mi ^êi ^^n/'

Ensuite, les expressions àe x^, . , , Xn-i, z,pi,..,pn au moyen des variables ^«-i, Xn sont supposées telles que, en les substituant dans l’équation (1), celle-ci devienne une identité. Donc, en la différentiant par rapport à chacune des variables Xn et il viendra

B F B F Bxi B F Bxn—i

B.Zn ^ Bxi Bxn ^ ^ Bxn-l BXn

1 A A I A I 4 A ri

^ 02 Bxn ^ Bpi BXn ^ Bpn BXn '

B F Bxi Bxn—i

BXi 0^1 ^ Bxn-l 0&

, ^ t JL ^ A. 4 A?P?0

”* 02 0^1 Bpi B^i ' ■ ' Bpn B^i

Imschenetsky: Sur lHntè(jration des équations

Prenons d’abord la dernière de ces deux équations, laquelle doit avoir lieu pour i— 1,.., n — 1, et substituons-y les valeurs (3)

dpn

et (4) de et de il viendra

8/?i oæi ,

^ dz dxn dp„) d^i T* * * *

/ , ^Pn-l dF \ dxn^

\Ô4:n-i 02 dXn dpnj d'^i

. ^F\^P\ / dF ^dxn-i dF\dp„-i

vè/?i dxn dpnJ d^i^ \dpn-i dx„ dp„J dii

]53. Les fonctions de |n— i, ^n, qui représentent les

valeurs de Xi, . Xn—j, sont restées jusqu’à présent indéterminées. Nous pouvons profiter de cette circonstance, en choisissant pour ces fonctions des expressions telles, qu’elles satisfassent aux conditions

dF dxn—i dF

^l'~dXndpn'-’^*

dpn-1 dXn dpn

et, pour compléter la détermination de ces n — 1 fonctions, joignons-y la condition que, pour la valeur particulière Xn = «, les fonctions Xi,.,,Xn-i prennent respectivement les valeurs ^n-i*

D’après ces conditions, l’équation (6) prend la forme

et pour les diverses valeurs de f = 1, 2,..., w — 1, nous aurons ( n — 1 équations semblables. Le déterminant fonctionnel I

dF dF dpi dF\dxi

dxi ^ dz ^ dx„ dpn) d^i ’

, / 0F , ôF , dpn-\ dF\ dxn-l ^

dXn—l

■0ir

fi.Ti

dxn—l

ne doit pas être égal à zéro; car, s’il l’était, alors (en vertu du Théorème du §. 3), il existerait entre les variables Xi Xn-i une ou plusieurs équations. Donc, comme conséquence nécessaire des équations précédentes, on aura des équations de la forme

nnx dérivées partielles du premier ordre.

Ch. Vm, S. 31. 195

dxi ^ ~dz dxn dpn ’

qui auront lieu pour toutes les valeurs de i = 1, 2,.., n — 1.

154. Nous avons maintenant toutes les équations nécessaires pour la solution de la question. En considérant toutes les conditions introduites successivement, on trouve que le problème consiste en ceci: ,,DétenT»iner 2n fonctions inconnues Xn—i,

Pn des variables ^n— i, ocn, de telle manière P que»

pour la valeur particulière ccn^a, elles prennent respectivement les valeurs ^n-i, «i,.., con-i, en supposant ^ =

. . , |n-i), et généralement œ/

în-l)

■ aè*

, pour i = 1 , 2,. .

] ; et enlin la valeur de &)« se tirant de l’équation

2^ que ces fonctions satisfassent aux 37^ — 1 équations (1), (2),

(3) , (7) et (8).«

Nous ne faisons pas entrer en ligne rie compte les équations

(4) , qui sont des conséquences des équations (2) et (3), ni i’équation (5j, qui est équivalente à (1).

Mais, pour déterminer ‘'la fonctions inconnues, il snffit, en général, de 2?i équations; donc, dans le système précédent de 3« — 1 équations, il doit y en avoir n — 1 de superflues. On peut démontrer, en effet, P que le système de 2?i équations, composé de (1), (2), (7) et (8), sulfit pour déterminer les valeurs demandées des fonctions inconnues; 2^ que ces équations réduisent à des identités les n — l équations restantes (3).

155. Occupons-nous d’abord de la première partie de la démonstration. Les équations (2), (7) et (8) peuvent s’écrire sous la (orme

dF dF

^Pi

dx„

dpn

dxi

dpi

dxi

+ Pi

Bxjt

- dF '■

dxn

dpn

dp U

les deux dernières équations ayant lieu pour toutes les valeurs de i =1, 2, . . , n — 1.

Imsc henetshy: Sur l'intégration des équations

Aux équations (9) il faut encore joindre l’équation (l) ; niais celle-ci peut être remplacée par l’équation (5)^ qui lui est équivalente, et qui, par la substitution des valeurs de

CXn CXfi

^Pi

tirées des équations (9), se ramène aisément à la forme

dxn 'dz dxn ^Pn ’

dpn dXn ^

dx„

dpn

semblable à la dernière des équations (9).

Le système des 2w équations (9) et (10) renferme, à proprement parler, des dérivées partielles des 2n fonctions cherchées; mais comme les différentiations partielles sont faites par rapport à la seule variable Xn, tandis qu’aucune des autres variables indépendantes , . . . , |«i n’entre explicitement dans les équations considérées, il s’ensuit que ces équations peuvent être traitées comme un système d’équations différentielles ordinaires du premier ordre. D’après cela, les équations (9) et (10) pourront se mettre sous la forme

li;

dxj

(II

dXn

dp»

ulz

dp^

th 0^, 0^,

— dpn

dF dF

dxn + 0:

Par l’intégration du système des équations (11), on peut en général, comme on sait, trouver des expressions finies et déterminées des fonctions x^,.., Xn-i, î» Pn de la variable x^

lesquelles, pour la valeur particulière Xn = a de cette variable, prennent respectivement les valeurs ou,.., con. Sup-

posons que ces expressions soient

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. Vtll, 197

— cp

(Xn,

li>-

z=z (pj

(Xny

Xfi—l

— (pn—

1 {Xny

COj,.

., COn),

(Xn,

^n-ly

. , Cün),

(Xny

-, èn-ly

Wl,.

En substituant dans les w premières éqiiafions (1*2) les valeurs

airisi que l’expression de con tirée de réquatioii

^ (^t > • ' f — Ij ftj 0)| ; • • , COn) —

on obtiendra n équations entre les variables primitives i, x„

et les variables auxiliaires èn—i; par conséquent, si la forme

de la fonction f est donnée, on pourra éliminer les variables auxiliaires, et l’on parviendra ainsi à une équation d’où l’on tirera une valeur de z en fonction de Xn, qui satisfera à toutes

les conditions })roposées, c’est-à-dire que Ton aura l’intégrale cherchée du problème. Si la forme de la fonction f reste indéterminée, alors l’élimination des quantités ^«-i est généra-

lement impossible ; cependant le système des n premières équations (12) [»eut être considéré comme équivalent à l’intégrale générale de Téquation (1).

Lorsque la fonction f est indéterminée, l'élimination de ^n—i n’est possible que dans le seul cas particulier où les n premières équations (12) ne contiennent pas les quantités coj,.., con. Alors, en les résolvant par rapport à ^n—i> o» trouve des

valeurs de la forme

^v=z7C{Xiy.., 2), (Xi,..y Xn, t),..., ^«-1 = TT/i-l (.Tj X„, l).

En les substituant dans l’équation on obtient l’intégrale générale sous la forme

Tü , rCn — i).

De cette forme de l’intégrale générale il est aisé de conclure que l’équation ]>roposée (1) doit être linéaire par rapport à

l mschenetshy : Sur l’intégratum des équations

/?!,••» pny et avec cette condition, pour trouver les n premières intégrales du système (12), il suffit évidemment de faire usage des n premières équations (11), savoir,

d:i\ dxn dz

^Pl , ^Pn dpi ^ dpn

Ainsi la théorie de Cauchy embrasse dans le même procédé général la solution des équations linéaires et celle des équations non linéaires.

156. Il reste à faire voir que les expressions (12) des fonctions r, Æ-j,.., Xn-ii Pifj pn* substituées dans les n — 1 équations (3), changent celles-ci en identités. Admettons pour un instaikt que ces substitutions ne rendent pas identiques les deux membres de chacune des équations (3), et représentons par leur différence, étant une tonction inconnue de |n-i>

Æ'n; c’est-à-dire que nous posons

dz dxi

, dxn-l ,

• + Pn—1

En joignant à cette égalité l’équation (2), qui devient identique ; lorsqu’on y substitue les valeurs (12), et la combinant avec la l( précédente par la même procédé qui a servi à obtenir les équa- j v fions (4), il vient I f

dpn dxi

dit dxn d§i

d^i dxn ^

dpn-l dXn-1 dpn-l dx„-l dxn d§i dii dxn dxn *

Si l’on porte les valeurs précédentes quation (5^), nous aurons

.52., dpn de op et de

dans

Ch. Vin. St. J 99

Mais, en vertu des équations (7) et (8), qui sont satisfaites par les valeurs (12), tous les termes de l’équation précédente, à l’exception des deux derniers, sont identiquement nuis. Donc, pour déterminer nous aurons l’équation

0logJ(*) dz

dF , dF

^ = 0, ou

dxn “ BF

dpn Bxn Bz

En multipliant les deux membres de cette équation par dxn, et intégrant depuis a jusqu’à Xn, il vient

étant la valeur de pour Xn = «; or il est facile de voir

que cette valeur est nulle.

En effet, en faisant xn — u, rappelons-nous qu’en même temps les fonctions 2, Xx,..,Xn—u Pn-ii doivent prendre respecti-

vement les valeurs Jj,.., |n-i, coi,.., Wn-i. Donc l’équation (3) prend la forme

d’où

Il est évident alors que l’on a aussi, en général, = 0; c’està-dire que les équations (3) sont satisfaites par les intégrales (12), lesquelles, remplissant ainsi toutes les conditions voulues, donneront la solution la plus générale du problème.

157. Bertrand a fait contre la conclusion précédente une objection *), qui consiste en ce que cette conclusion est vraie seulement à la condition que l’intégrale

*) Comptes rendus des Séances de 1* Académie des Scien-

200 Imsc heîie {skÿ : Sur Vinlégration des équations, etc.

ne prenne pas une valeur indéterminée ou infinie; et que, d’un autre côté, on peut toujours attribuer à la fonction arbitraire In— i) une forme telle que Tun de ces deux cas

ait lieu.

A l’occasion de cette remarque, S en* et a entrepris l’examen de ces cas exceptionnels, et a démontré"^) que, si l’intégrale (14) n’a pas une valeur finie et déterminée pour la forme assignée à la fonction /"(li,.., In-i), il arrive alors, en même temps, que les équations (12) sont impropres à fournir la solution générale du problème. Cette solution s’obtient, dans ce cas, au moyen de l’intégrale complète, c’est-à-dire de l’intégrale qui renferme autant de constantes arbitraires qu’il y a de variables indépendantes dans l’équation donnée. Je crois inutile, d’ailleurs, d’exposer en détail les recherches de Serret, d’autant qu’elles ont été reproduites, d’après les articles des Comptes rendus, avec beaucoup d’explications et d’exemples, dans la Traité élémentaire de Calcul différentiel et de Calcul intégral de l^acroix, 6® édition augmentée de Notes par MM. ffiermîte et Serret, (Note II, T. II, p. 237-282) **).

*) Comptes rendus, t. LIÎÏ, séances des î et 28 octobre 1861.

**) Voyez encore Serret, Cours de Calcul différentiel et intégrai, t. 11, p. 624 — 649, et le Mémoire du meme Auteur inséré dans les Annales scientifiques de l’Ecole Normale supérieure, t. 111 (Note du trad.).

Table deH niaNôeeÿc

fable «les matières.-

Page.

Introduction 5

Chapitre I. — Des différentes formes d’intégrales des équations aux dérivées partielles du premier ordre 9

§. 1. Intégrale complète d’une équation aux dérivées partielles du

premier ordre 9

§. 2. Intégrale singulière 10

§. 3. Théorème de Jacobi sur le caractère d’indépendance des

fonctions 12

§. 4. Intégrales générales d’une équation aux dérivées partielles du

premier ordre 15

§. 5. Les systèmes précédents renferment toutes les solutions possibles d’une équation aux dérivées partielles du premier ordre 16 §. G. Cas où la solution est donnée sous forme implicite .... 18

Cliai)itre II. — Des équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre 20

§. 7. Formation d’une équation linéaire aux dérivées partielles du

premier ordre par l’élimination d’une fonction arbitraire . . 20

§. 8. Méthode d’intégration de Lagrange 23

§. 9. Dépendance mutuelle entre le problème de l’intégration d’une équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre, et celui de l’intégration d’un système d’équations simultanées aux

différentielles ordinaires 25