A cette fin, imaginons que l’équation

détermine un des arguments cc des fonctions arbitraires de l’intégrale supposée. A l’aide de cette équation, nous pourrons introduire dans l’équation donnée, au lieu des variables indépendantes primitives x et les nouvelles variables æ et a, ou et a. En prenant successivement ces deux hypothèses, et différentiant partiellement l’équation précédente d’abord par rapport à x^ puis par rapport à la seconde variable a étant, dans les deux cas, considérée comme constante, nous aurons

^~dx~^dydx'

n — — dy'dx dy *

d’où

dx et' dy

et nous aurons en même temps

dy dx dx Sÿ

Par conséquent, s’il est possible de déterminer différentes fonc-

, dy

tiens m, n, ... des variables x, y, représentant les valeurs de

nous aurons en même temps les valeurs de ^ sous la forme — »

^ oy m

..., et les valeurs correspondantes des arguments cü, ... des

fonctions arbitraires s’obtiendront par l’intégration d’équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre, de la forme

De cette manière, la recherche des arguments des fonctions arbi-

traires se ramène à la recherche des différentes valeurs de

correspondantes à ces arguments, valeurs qu’il faut tâcher d’obtenir par le seul moyen de l’équation aux dérivées partielles donnée.

Ch. L § 6.

37. Supposons que l’équation donnée soit du second ordre, et de la forme générale

En prenant x et a pour variables indépendantes, on tirera des équations de l’intégrale générale des expressions, au moyen de ces variables , des fonctions y, z, z\ z^^ z\ . . . , par la substitution desquelles on satisfera, non-seulement à l’équation donnée, mais encore à toutes ses dérivées par rapport k x et k y^ jusqu’à un ordre quelconque. Si l’on différentie l’équation donnée n — 2 fois par rapport à il veindra

+ ^n-i + dz" + ^

Ici les dérivées de l’ordre n n’entrent que linéairement, leurs ^coefficients étant formés au moyen des seules quantités qui entrent “dans l’équation donnée, et le terme K contenant outre cela les dérivées de des ordres inférieurs à n.

! 38. Nous avons vu, au § 4, que, à partii' d’un certain ordre,

les dérivées partielles de 2;, déduites des équations de l’intégrale, 'doivent nécessairement être hétérogènes à celle-ci par rapport à g. i-Et comme le nombre n est arbitraire, rien n’empêche d’admettre que les dérivées d’orcle n soient hétérogènes à l’intégrale par rapport à g. Cette hypothèse faite, voyons comment nous pourrons satisfaire à l’équation précédente.

Commençons par exprimer z^^^ et ^ au moyen de zn. On a, pour cela, les équations

dzn-l , , dy

dx '^n—l ' Sx ’

'n-2 , , dy

Sx ^n—2 ' ^n—1 Sx *

au moyeu desquelles on trouve , 8zn—l dy „

"'«—1 Sx dx "'n~2 Sx dx Sx ' \3a:: /

En substituant ces valeurs de z’

dans l’équation consi-

dérée, il vient

dz^^ Szj ' Sx ' dz" \aaî /

, ^ , 8F 8zn-i , 8F 8ÿ82,.-i\ \ ■r^^+8»;' 8ï “*"87' \ dx dx. dx ) I

Theil LIV.

Ch. 1. § 6.

Enfin, en substituant encore ici les expressions que donnent les équations de l’intégrale pour les fonctions ?/ , s, 0^, . . . et leurs dérivées partielles par rapport à æ, on devra obtenir une identité. Or l’expression de tirée de la formule

dzn

Zn = —

est, d’après ce qui précède, hétérogène à l’intégrale, c’est-à-dire contient une fonction arbitraire de a, qui ne se trouve ni dans les équations de l’intégrale, ni dans les expressions des dérivées de ; d’un ordre inférieur à n, et par suite ne se trouve pas non plus dam les dérivées partielles de ces dernières et de ?/ par rapport à æ; cai la différentiation par rapport à x suppose a constant.

Donc, dans l’équation ci-dessus, le terme qui renferme le facteui zn ne peut se réduire avec les autres termes, et l’équation ne peu se changer en identité que si l’on a

ÔF 0F 0?/ . 0F /02/'^

dz/dx‘dz"\Ô£c.