Ainsi voilà l’équation à laquelle doit satisfaire le

correspondant à l’argument mais comme « n’y entre pas explî citement, en cherchant alors la condition à laquelle devrait satisfairi 0?/

la valeur de ^ correspondante à l’argument on devrait retrouve

l’équation précédente. Par conséquent, les racines de cette équatior

dv

que nous désignerons par m et w, donneront les deux valeurs de ^

correspondantes aux deux arguments « et des denx fonctions arbî traires de l’intégrale générale finie sans quadratures partielles d l’équation aux dérivées partielles du second ordre, si cette équatio est susceptible d’une telle intégrale.

40. Le résultat que nous venons d’obtenir nous permet d’étabb les conclusions suivantes relativement à la nature des arguments «, ( déduite dô la forme de l’équation proposée.

(lép

jiln

Iki

tvarii

1*^. a et ^ doivent être généralement des fonctions déterminé(

de X et de 2/; car les valeurs correspondantes de représentée par les racines m et n de l’équation précédente, sont exprimées soi

Ch. 1. § 6.

forme déterminée au moyen de æ, et des fonctions dépendantes de x et de y.

dF 0F 0F

2^. Si gpr,, gj-,, s’expriment en fonction de x et de y

soit immédiatement, soit après la division par un facteur commun, alors m et n seront des fonctions des mêmes quantités. Par conséquent, Ci et P pourront se déterminer en intégrant les équations

Ci’ -{-ma J = O, = 0.

3®. Si m = w, c’est-à-dire, si l’on a

alors Ci = par suite, l’intégrale générale cherchée devra contenir deux fonctions arbitraires différentes du même argument.

4^. Si m = 0, c’est-à-dire, si g- = 0, l’équation qui détermine

a prendra la forme «' = 0; donc a = une fonction arbitraire de y Par conséquent, lorsque l’équation à intégrer ne contient pas alors, dans l’intégrale cherchée, une des fonctions arbitraires dépendra de la seule variable y.

5^. Sim = 00, c’est-à-dire, si == C, l’équation qui détermine a prendra la forme a^ =0; donc a = une fonction arbitraire de X. Par conséquent, lorsque l’équation à intégrer ne contient pas s", alors, dans l’intégrale cherchée, une des fonctions arbitraires dépendra de la seule variable x.

0 et = 0, les

6^. Si m = 0, 00 , c’est-à-dire, si

équations qni déterminent a et ^ prendront la forme a' = 0 et = O5 donc a = une fonction arbitraire de ?/, et j3 = une fonction arbitraire de x. Par conséquent, lorsque, dans l’équation à intégrer il n’entre pas d’autre dérivée du seccTUd ordre que 2/, alors dans l’intégrale cherchée une des fonctions arbitraires dépendra de la seule variable x^ l’autre de la seule variable y.

7^. Si m = 0, = 0, c’est-à-dire, si et gp = 0, les

équations qui déterminent a et ^ prendront la forme a' = 0 et = 0; donc a et ^ seront des fonctions arbitraires do la seule variable y. Par conséquent, lorsque dans l’équation à intégrer il

Ch. 1. § 6.

n’entre pas d’autre dérivée du second ordre que alors dans Tinté- i grale cherchée les deux fonctions arbitraires dépendront de la seule variable y.

ôF 0F i

8®. Si m = 00, « = CO, c’est-à-dire, si ^ ^ ^ |

les équations qui déterminent a et ^ prendront la forme = 0 et 'j = O5 donc 0: et seront des fonctions arbitraires de la seule | variable x. Par conséquent, lorsque dans l’équation à intégrer il

DO

n’entre pas d’autre dérivée du second ordre que alors dans l’inté-

grale cherchée les deux fonctions arbitraires dépendront de la seule variable x.

41. Remarque. Il faut encore observer que l’intégrale générale finie sans quadratures partielles n’est possible, dans les deux derniers cas (7^ et 8®), qu’à la condition suivante: savoir, lorsque, l’équation donnée ne contenant pas d’autre dérivée du second ordre que z", la dérivée du premier ordre z, n’y entre pas; ou lorsque, l’équation donnée ne contenant pas d’autre dérivée du second ordre que z^^, la dérivée z' n’y entre pas.

En effet, les équations qui ne satisfont pas à cette condition peuvent, sans diminuer la généralité, se mettre sous Tune des formes

en supposant la première résolue par rapport à , la seconde par rapport à s'.

Examinons maintenant s’il est possible d’admettre, par exemple, que la première de ces équations ait une intégrale générale finie sans quadratures partielles. Les deux fonctions arbitraires d’une telle intégrale devraient, d’après ce qui précède, dépendre de la seule variable y. Donc a doit être une fonction de y et réciproquement y =f(ci). En introduisant, à l’aide de cette dernière relation, la variable a au lieu de y, on trouve, en vertu de la Remarque du § 4, n^ 31, que les expressions de z' et de s", tirées des équations de l’intégrale, doivent être Tiomogènes à l’intégrale par rapport à a, tandis que l’expression

dz

du

f\ci)

ai’gi

étii(

icoel

l’éiji

îdf

îTari

lui est nécessairement hétérogène par rapport à a. Donc, par la substitution de ces expressions dans l’équation considérée, il n’es; pas possible de transformer cette équation en identité, puisque

Ch. L § 6.

premier membre devrait renfermer une fonction arbitraire de a, qui ne peut se trouver dans le second membre.

En échangeant entre elles les lettres y et æ, on pourra démontrer, absolument de la même manière, la proposition analogue relativement à l’équation

42. La méthode que nous venons d’exposer pour l’étude des arguments des fonctions arbitraires de l’intégrale, s’applique sans difficulté aux équations aux dérivées partielles d’ordre quelconque. Si l’on fait attention à l’uniformité des procédés employés dans cette étude, il suffira d’indiquer brièvement cette généralisation pour l’équation du troisième ordre.

Soit

b' ^ ^ î 5 ^y/î ^ 5 ^y 5 ^yy î ^/yy) fl

l’équation donnée. En la différentiant n — 3 fois par rapport à y, il vient

aF , SF , 0.,

+07' Cs+î^ =

Ici les dérivées de l’ordre n n’entrent que linéairement, leurs coefficients étant formés avec des quantités qui se trouvent dans l’équation donnée, et le terme K contenant, en outre, les dérivées de 2 des ordres inférieurs à n.

Imaginons maintenant que l’un des arguments des fonctions arbi- ^ traires de l’intégrale supposée soit a = /(æ, y)^ et introduisons comme variables indépendantes x et a, au lieu de x et de y. Nous aurons ainsi les équations

dzfi-l ,.dy

dx ^n-2 ' l *

.d’où l’on tire

dz"

dx

Ch. 1. § 6.

dzn-

Bx

By

’Bx^^'

Bz

%—2 Qx Bx Bx

By^^n—2 , (By\^Bz

Bx Bx

^n—2 ■ fByYBzn-l

‘Bx ‘\BxJ Bx \BxJ

En substituant ces valeurs de z'^'^, l’équation précédente

prend la forme

Sæ”* 0^/' \ôæ/ Bz'" \BxJ J 1

ÔF Bzn—l . BF /^^n—2 ByBzn—1^

-L P I — I pF rn-2 By

' Bz,! Bx 'Bz!' \ Bx Bx Bx )

0F ^^n~3 By^^n-2 , /ByyBzn-l

, n-o ■ {By\^Bzn-\

' Bz'" L Bx Bx Bx ' \0fl3 / Bx

pli

iès

au

Puisque le nombre n est arbitraire, on peut toujours le supposer tel, que les expressions des dérivées de sj de l’ordre n soient hétérogènes à l’intégrale par rapport à a. Dans ce cas, en substituant dans l’équation précédente les expressions des fonctions y^ z Qt des dérivées partielles de 0, tirées des équations de l’intégrale, on ne pourra y satisfaire que si l’on a l’équation, du troisième degré par rapport

a ôT > ex

^tie

00„, 00^/ 0a? ' 00/' \0a;/ Bz"'\Bx) ’

dont les racines m, p sont liées aux arguments a, j3, y de Tintégrale par les équations

a'-\-ma, == 0, == 0, y'+py, = 0.

En conséquence, toutes les questions relatives à la forme des arguments pourront être résolues comme dans le cas précédent.

Ch. n. § 7.