Chapitre IL

Intégration des formes les plus simples d^équations aux dérivées partielles du second ordre d^une fonction de deux variables indépendantes.

43. Les formes de la classe d’équations différentielles considérée sont caractérisées principalement par la forme des arguments ^ des fonctions arbitraires renfermées dans les intégrales générales de ces équations. D’après cela, voulant nous occuper d’abord des équations les plus simples, auxquelles se ramèneront ensuite les équations de forme plus compliquée, nous commencerons par les hypothèses les plus simples relativement à la forme des arguments a et /?. Il est évident que le cas où ces deux arguments sont égaux, et s’expriment au moyen d’une seule des variables indépendantes x ou «/, correspond à l’hypothèse la plus simple.

Si, par exemple, a = ^ alors l’équation différentielle correspondante ne peut admettre une intégrale générale de forme finie (§ 6, art. 40 et 41) que dans le cas seulement où l’équation ne contient pas d’autre dérivée du second ordre que ni d’autre dérivée du premier ordre que s'; c’est-à-dire dans le cas seulement où l’équation est de la forme générale

Dans ce cas, du reste, il est aisé de s’en convaincre immédiatement, en se représentant le passage de l’intégrale générale, qui con-' tient deux fonctions arbitraires de à l’équation différentielle correspondante, aux dérivées partielles du second ordce, moyennant l’élimination des fonctions arbitraires. Comme, dans le calcul des dérivées z' et la quantité y est considérée comme constante, on peut aussi se maintenir à ce point de vue dans l’intégration de l’équation en question. De cette manière, on aura une équation aux différentielles ordinaires entre les variables x et 2;, et, en Tintégrant, on aura son intégrale générale avec deux constantes arbitraires distinctes. Or ces dernières doivent être constantes seulement par rapport à £c; par suite, elles peuvent être considérées comme deux fonctions arbitraires distinctes de y, et nous aurons ainsi l’intégrale générale de l’équation proposée.

Ch. IL § 7.

Pour une équation différentielle ordinaire du second ordre, il! existe toujours deux intégrales intermédiaires du premier ordre, contenant chacune une seule constante arbitraire. Par conséquent, eiil changeant ces constantes en fonctions arbitraires de ?/, on aura tou-j jours des intégrales générales intermédiaires du premier ordre pouij réquation proposée.

44. Généralement, les équations qui admettent une intégrale] générale dans laquelle a = § peuvent se ramener, par une transformation convenable, à la forme plus simple que nous venons de con-1 sidérer. Pour cela, il ne faut qu’introduire dans l’équation proposée,! comme variables indépendantes, a et a?, ou bien a et «/, à la place] de X et de y. Nous exposerons plus loin (Chap. lY) les procédés! généraux pour faire cette transformation dans le cas où l’on peut] obtenir, au moyen de l’équation donnée, l’expression de a en fonction' de a?, «/, s, s/, nous nous bornerons présentement au cas moins | général où, à l’aide de l’équation donnée, on peut former l’expressionj de l’argument a en fonction de x et de y.

45. Supposons que l’équation donnée soit de la forme générale ' F {x, y, Z, z\ O, ■

OU

^ = Rz’^+2Sz;-^Tz,,

R, S, T désignant des fonctions données de x et de y.

En vertu de ce qui a été démontré plus haut (§ 6, art. 40), les: arguments a, de l’intégrale générale de l’équation donnée ne! pourront être égaux que sous la condition

/0F eF 0^

Or on a

SF

aF aF

aF

par suite, la condition précédente prendra la forme

/aF\2

aF

et comme le facteur ^ ne saurait être nul, il faudra que l’on ait

Ch. IL § 7.

En supposant cette dernière condition satisfaite, on aura

en posant, pour abréger.

Pour déterminer l’argument «, on a (art. 36) l’équation aux dérivées partielles du premier ordre

d’où l’on tire, en désignant par le facteur d’intégration,

U = {dy — mdx) = /(a?, y).

A l’aide de la relation entre a?, et, exprimée par cette dernière équation, on peut maintenant introduire, comme variables indépendantes, a et æ au lieu de x et de y. En considérant ainsi les deux systèmes de variables indépendantes, il faut se rappeler la convention établie plus haut (art. 2), et d’après laquelle les dérivées partielles d’une fonction quelconque par rapport h, x ei h y sont désignées par des accents placés à droite de la fonction, en haut ou en bas, tandis que, pour représenter les dérivées partielles par rapport à æ et à a, on emploie la notation habituelle.

D’après cela, on a

^ dx~^ da dy* doc ' dy

par suite,

On trouve de même

' ou

z''+2mz/+m\+{m'-^rrimj)zj = g-g.

On tire de ces équations

Ch. II. § 7.

et

cz

Par conséquent, si l’équation donnée admet une intégrale générale de forme finie, avec deux fonctions arbitraires de l’argument « alors, en y substituant les valeurs précédentes de ^ et

de il faudra encore que s’élimine aussi d’elle -même, par suite des réductions. Or, dans ce cas, en considérant au lieu de ^ et de z' leurs expressions ci-dessus, et difiérentiant partiellement le premier membre de l’équation proposée par rapport à z^^ on devra obtenir un résultat identiquement nul. Donc les deux égalités

R (m'-f- mnfij) ^ ^

seront des conditions nécessaires et suffisantes, et, lorsqu’elles seront remplies, l’intégration de l’équation aux dérivées partielles considérée se ramènera à l’intégration d’une équation aux différentielles ordinaires du second ordre.

Il est clair qu’en échangeant les rôles de x et de «/, et posant, pour abréger,

on obtiendra les deux conditions, analogues aux précédentes,

aT T(n,-j-nn') + g-

g- = 0, S^-BT=^0.

46. Eclaircissons ce qui précède par un exemple simple. Prenons l’équation

/B+(1+^+2/)^/]+4+(^^+«52/ — «/K— = 0, dans laquelle on a

^ = z''+2{x+y)z/^(x+yy

et où / désigne une fonction donnée quelconque. Nous aurons ici

= x-{-y^ Ci = fe-^ [dy — {x-\-y) dx']

En introduisant a: et « comme variables indépendantes, au lieu de X et il vient

Jtt

Ch. IL § 7.

Par la substitution de ces valeurs de z' et de J dans l’équation proposée, on en élimine en même temps z,^ et l’on ramène l’équation à la forme

/0%\ , h’^z dz

dx ’

équation aux différentielles ordinaires du second ordre, qui s’intégre par la règle de Clair aut. Si nous introduisons dans l’intégrale complète de cette équation deux fonctions arbitraires différentes de a, à la place des constantes arbitraires, nous obtiendrons l’intégrale générale de l’équation donnée sous la forme

Il est facile de vérifier que, dans cet exemple la première des deux formes de conditions d’intégrabilité (art. 45) est satisfaite.

47. Si l’équation proposée est de la forme particulière Bz"-j-2Sz/+ Tz^^+ U=0,

U représentant une fonction donnée de x, 0, z\ z,^ les conditions d’intégrabüité, d’après la méthode précédente, seront

— RT = 0^ ^ m — gj — O,

ou