P TT ^ TT

S^—RT = O, W)-f 07 ^ ^ = O-

Si dans cette équation on pose

U= Qz,+ Fz'+Nz—M,

M, iV, P, Q désignant des fonctions données de x et de y, elle se changera dans l’équation linéaire

Rz"+2Sz/-\-Tz,^-\-Qz^+Pz'+Nz == ikf,

et l’on aura pour les conditions d’intégrabilité, d’après la méthode précédente.

ou

S^ — RT = O, R(m'-\~mm,) + Pm— Q = O,

S‘^ — RT = O, T{n, +wi') + Qw —P = 0.

48. Remarquons encore que, si nous adoptons les notations symboliques V et V/? définies par les égalités

44 Ch. IL § 8.

Sy V — v^-{~mvj^ V = Sy Sy V = (v'-\~mv^y-\-m(v'-\-mVj)ij

\y^v = v^-\-nv\ yy/^v = = {v^-\-nv')j-^n {v,-\-nv'y,

nous aurons

dz

dx^

Bz

dh

Par conséquent, les équations aux dérivées ijartielles du second ordre de la forme générale

F (a;, y, z, \yz, = 0, OU F{x, y, z, Sy ^z, \y ^z) = 0

'la

s’intégreront par la méthode précédente ; et réciproquement, les équations qui s’intégrent par cette méthode (c’est-à-dire, qui satisfont aux conditions d’intégrabilité données ci-dessus) se ramèneront à l’une des formes symboliques précédentes.

al

de

49. Après les équations considérées dans le § précédent, celles dont la forme est la plus simple sont celles qui correspondent à l’hypothèse que l’un des arguments des fonctions arbitraires de leur intégrale générale est égal à a?, et l’autre à y. Dans ce cas, comme on l’a vu (art. 40, 6^), l’équation différentielle ne peut contenir d’autre dérivée du second ordre que z/^ et par suite elle est de la forme générale

'ar

La théorie de l’intégration des équations de cette forme présente une importance spéciale, parce que toutes les équations de la classe que nous étudions doivent évidemment s’y ramener, dès que l’on y introduit comme variables indépendantes les arguments des fonctions arbitraires des intégrales générales qui leur appartiennent.

ia

et

50. Ampère a établi, comme il suit, les condttions nécessaires • et suffisantes pour que l’équation précédente puisse admettre une \ intégrale du premier ordre avec une seule fonction arbitraire de y 1 ou de x. ^

Supposons que l’équation

to

/fe y-, =“ 0,

Ch. IL S 8.

où go et 'i/; désignent des fonctions arbitraires, représente l’intégrale générale. En la différentiant par rapport à «/, et éliminant q)(x) entre l’équation ainsi obtenue et l’équation proposée, on aura un résultat de la .forme

Cette dernière équation ne peut évidemment représenter l’intégrale générale du premier ordre, que s’il est possible d’éliminer toutes les fonctions arbitraires entre cette équation et celle que l’on obtient en la différentiant par rapport à x.

Pour cela, il faut que, dans la dernière équation, et n’entrent que dans un groupe séparé, de la forme

alors la fonction arbitraire de ?/, représentée par ce groupe, se reproduira sans altération dans l’équation provenant de la différentiation de la précédente par rapport à x, et par conséquent elle pouvra être éliminée entre ces deux équations. Comme le résultat d’une telle élimination peut toujours se mettre sous la forme d’une équation linéaire par rapport à et à z' ^ telle que

Gz!-\-iy-^K = 0,

6^, iZ, K pouvant en général contenir a?, 5;, cette forme de

l’équation différentielle sera aussi uue des conditions de la possibilité de son intégrale générale du premier ordre avec une seule fonction arbitraire de y.

51. La condition obtenue, bien que nécessaire, n’est pas suffi-, santé. En effet, en remarquant que l’on a

et multipliant l’équation précédente par dx, il vient

I &dz,-i-ff8is+Kdx = 0.

(Dans cette équation linéaire par rapport aux différentielles des trois variables z^, z, x, on peut considérer y comme constante. Elle admet, comme on sait, une intégrale avec une constante arbitraire (laquelle ^ peut être remplacée par une fonction arbitraire de y) , dans le cas ^seulement où la condition d’Euler,

Ch. IL § 8.

dK\ . /8K dG\ , ^(8a dH\ ^

est satisfaite.

Ainsi l’existence de cette dernière égalité, avec la forme linéaire de l’équation proposée par rapport à z/ et à z', constituent les conditions nécessaires et suffisantes pour que cette dernière équation ait une intégrale générale du premier ordre avec une fonction arbitraire de œ.

On trouvera absolument de même les conditions de l’existence d’une intégrale générale du premier ordre avec une fonction arbitraire de X.

52. Il est aisé, par exemple, de faire voir de cette manière que l’équation

{x-\-yz)z^ — - Z, O

ne peut avoir d’intégrale du premier ordre avec une fonction arbitraire de ic, mais peut en avoir une avec une fonction arbitraire de y. Pour obtenir celle - ci, multiplions les deux premiers termes du premier membre de l’équation proposée par dx^ ce qui donnera

{x-\-yz)dz—yz^dz.

En considérant, dans cette expression différentielle binôme, z^ et

comme seules variables, multipliant l’expression par —

et

intégrant, on trouve

Pyzfiz—{x-^yz)dzj x-\-yz

Introduisons maintenant, au lieu de la variable dépendante primitive 2;, une nouvelle variable en posant

x-{-yz^

On en tire, en différentiant par rapport à «•,

En ajoutant cette dernière équation à la proposée multipliée par

-5, on aura

on aura

OU

{x-iry)z/

On obtient ainsi une équation du premier ordre, et, comme il n’y entre pas de dérivée par rapport à en l’intégrant comme une équation ordinaire à deux variables æ et et remplaçant la constante arbitraire de l’intégrale par une fonction arbitraire de ?/, il vient

En substituant à sa valeur dans cette équation, on obtient l’intégrale du premier ordre de l’équation proposée, sous la forme

i^-\~y)^(yy {^-\-y)i^iyy

Daçs cette équation du premier ordre, il n’entre pas de dérivée par rapport à æ; en l’intégrant donc comme une équation différentielle ordinaire entre les deux variables y et z, et remplaçant la constante arbitraire de l’intégrale par une fonction arbitraire de x, on trouve, pour l’intégrale primitive générale de l’équation proposée,

dy P Z = ■

nl'ù

cp{x)-\~s^ ^

rjf .

• ip(y)

dy