Si l’on a

J/, iV, P, Q désignant des fonctions données de x et de «/, l’équation considérée sera linéaire par rapport à z\ z,^ z,\ et de la forme

et les conditions pour qu’elle puisse avoir une intégrale générale du premier ordre avec des fonctions arbitraires de x seule ou de y seule, s’exprimeront respectivement par les égalités

ôP , dQ ,

-JV+PQ = 0, g^-iV+P« = 0.

Ces conditions ont été encore démontrées par Euler (Instit. Cale, integr. t. III).

En effet, l’équation donnée peut s’écrire sous les deux formes suivantes,

du Qz) ^ (n—PQ — 2 = 0 ;

dy

et, si l’une des conditions précédentes est remplie, alors, en introduisant au lieu de la variable primitive z, dans le premier cas, la variable

fOl

sec

et dans le second, la variable

V = z-\-Qz^

on réduira l’équation proposée à l’une des deux suivantes

u-\-Qu — ikf, Vf\-Pv = ili,

lesquelles fournissent des intégrales générales du premier ordre, savoir, la première une intégrale avec une fonction arbitraire de /y, la seconde une intégrale avec une fonction arbitraire de x.

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