DI

(IDI

lion

54. Les paroles suivantes d’Ampère, complètement vraies encore à l’époque actuelle, caractérisent l’importance et le degré de développement de la théorie de l’intégration des équations que nous avons commencé à considérer dans le paragraphe précédent:

riDi

fil

„Les équations aux différentielles partielles du second ordre qui ne contiennent que la dérivée z/ de cet ordre, doivent être examinées avec d’autant plus de soin, que c’est souvent en y ramenant les autres équations aux différentielles partielles du second ordre qu’on parvient à les intégrer. L’intégration générale des équations comprises dans la forme

j lais ï

-i MO]

îi fsp

peut être regardée comme la première question à résoudre pour arriver à celle de toutes les équations du second ordre. Mais ce i problème paraît devoir échapper encore longtemps aux méthodes de | l’Analyse actuelle; on ne sait encore intégrer ces équations que dans ^ le cas dont nous venons de parler [sous la condition (E), art. 51],

Ch. II. § 9.

où elles ont une intégrale intermédiaire, et dans le cas des équations linéaires intégrées par M. de Laplace(*).“

! A en juger, d’après ces considérations, chaque progrès réalisé, dans le dévéloppement et la généralisation des méthodes d’intégration des équations de la forme considérée, doit avoir une importance pour la théorie tout entière des équations aux dérivées partielles du second ordre.

55. La méthode de L api a ce, mentionnée par Ampère, consiste à ramener, moyennant un changement convenable de la variable dépendante, l’intégration d’une équation linéaire

jqui ne satisfait à aucune des deux conditions d’intégrabilité

h l’intégration d’une équation de la même forme générale.

Si l’équation transformée ne satisfait pas non plus aux conditions d’intégrahilité , on peut lui appliquer à son tour le même mode de transformation. En continuant de cette manière, ou l’on parviendra à une équation linéaire satisfaisant aux conditions d’intégrabilité , et lu moyen de son intégrale on exprimera celle de l’équation proposée -, ou bien on s’assurera de l’impossibilité d’intégrer cette dernière équation sous forme finie.

! Par conséquent, cette méthode est fondée sur la possibilité d’exprimer l’intégrale de l’équation proposée au moyen de l’intégrale jd’une autre équation do même forme générale, mais satisfaisant à ■des conditions déterminées, auxquelles la proposée ne satisfait pas. Mais on peut faire voir que ce procédé s’applique non - seulement ;aux équations linéaires auxquelles L api ace s’est restreint, mais ancore aux équations de la forme plus générale

|[a) Gz/+Ih'+K = O,

bù (?, K sont exprimés en fonction de x, s, Après avoir établi cette généralisation, nous en tirerons la méthode deLaplace comme cas particulier.

56. Procédons à l’intégration de l’équation précédente comme il a été indiqué ci-dessus (art. 51). Multiplions les deux premiers tcr-

Journal de i’Ec. Polyt. , X Ville Cahier, p. 43.

Ch. IL § 9.

mes de son premier membre par dx^ ce qui donne l’expression différentielle

en considérant, dans celle-ci, z, et s comme seules variables, déterminons le facteur d’intégration fi, puis intégrons. On trouve ainsi l’égalité

fix.{Gdz,+Hdz) = F(a;, y, z,

dont le second membre est la valeur de l’intégrale du premier. Introduisons maintenant, au lieu de «, la nouvelle variable dépendante U, en posant

La différentiation de cette équation par rapport à x donne

pei

Par suite, en multipliant l’équation proposée par ft, et la retranchamji de la précédente, on a

, aF

(lE.

Le second membre de cette dernière équation s’exprime d’une ma nière déterminée au moyen de x, y, s, on peut donc poser, poui simplifier,

u' = Fi(a:, y, z, z,).

Si les fonctions F et F^ ne sont pas distinctes entre elles pa

rapport à s et

c’est-à-dire si, en éliminant entre les équation

= F ix, y, Z, s,), u’ = FjlCcc, 0, z,)

une des quantités 0, 0^, on élimine en même temps l’autre, on obtien alors une équation entre a?, «/, w, d’où l’on tire, comme nous l’avon : fait voir plus haut (§8), une intégrale générale du premier ordr: avec une fonction arbitraire de y. Mais dans ce cas, comme on sai^; on doit avoir l’identité

0F0Fi 0F0Fi

00 dzj dz, 00

lért

l’iiil

laquelle est aussi la condition d’existence de l’intégrale du premie orire en question, et doit être équivalente à la condition donnée plu haut

îffet

par

Ch. II. § 9.

Et en effet, il est aisé de vérifier que cette dernière condition découle gj de la première (*).

''Si 57. Nous sommes maintenant arrivés à la question qui fait I l’objet de cette étude: Comment faut-il procéder, quand les conditions précédentes ne sont pas remplies?

ier, Remarquons que les équations en-

M = F (a:, y, 0, u = Fi(æ, y, s, z,)

peuvent être considérées comme équivalentes à l’équation proposée. En effet, si l’on substitue dans la seconde la valeur de u tirée de la I première, on obtient l’équation donnée. En résolvant les équations ^[précédentes algébriquement par rapport à s et à on obtient deux autres équations de la forme

Z = f(x, y, u, u'), Z, =fi(x, y, u, u'\

équivalentes à celles d’où on les a tirées, et, par suite, à l’équation proposée. Si donc on porte dans l’équation proposée les valeurs précédentes de z^ z^^ et les valeurs de z\ z/ obtenues en différentiant les équations précédentes par rapport à x, on obtient nécessaila-l rement une identité pour toute valeur de u. Or la fonction u doit inr être déterminée de telle sorte qu’entre les valeurs z =f et z^ =f^ïi n’y ait pas incompatibilité, ce qui exige que la dérivée de/ par rapport à y soit égale à /j. En exprimant cette condition, on a l’équation

)llil ^

' en déterminant l’intégrale de celle-ci , et substituant la valeur de cette ’ I intégrale dans le second membre de l’équation

)ni|

lr( on obtiendra l’intégrale de l’équation proposée.

58. Mais il est facile de démontrer que l’équation (a,), considérée comme linéaire par rapport à u/^ et à ne doit pas avoir d’intégrale du premier ordre avec une fonction arbitraire de x. En effet, en multipliant les deux premiers termes de son premier membre par dy, et intégrant, il vient

(^) Voir, par exemple, Boole, Treatise on Differcntial Equations, p. 27i.

Ch. n. § 9.

En différentiant la valeur de v par rapport à on trouve

oii,e

et en retranchant de là Téquation (a^), on a

Ici les fonctions / et sont évidemment les mêmes que nous avions plus haut.

L’équation (a^) pourrait avoir une intégrale du premier ordre avec une fonction arbitraire de si l’expression

du du' du' du

était identiquement égale à zéro. Mais, en vertu d’un théorème connu sur les déterminants fonctionnels des fonctions inverses, on a

s/sa 3lA

du du' du' du

dFdF^ dFdF^'

dv dvj dv, dv

Le déterminant qui entre dans le second membre de cette égalité est, par hypothèse, différent de zéro. Donc le déterminant du premier membre ne peut être ni nul ni infini.

59. Ainsi l’équation (aj, considérée comme linéaire par rapport! à u/ et à ne conduit pas au but désiré. Cependant il reste encore la possibilité de résoudre la question de la manière qu’on s’était proposée, si l’équation (a,) est également linéaire par rapport à u/ et à %'•, et pour cela il faut seulement que les fonctions / et /-t soient du premier degré par rapport à u'. Introduisons cette condition, en posant

(ic, y, u^ u') = Mu'-^N^

ikf, iV, m, n désignant des fonctions de æ, y^ u. Maintenant l’équation (a^) prend la forme

d N dy

que

tlioc

, , /dM , dM \ ^ , dN

)u, en posant, pour abréger,

dM . dM ^ dN dN

a^) gu J ~\- Tiv/ h 0.

Si l’équation (a') satisfait à la condition d’intégrabilité

aquelle, en vertu de l’égalité

lie ^g dh dM

du duj du *

prend la forme

3lle aura alors une intégrale du premier ordre avec une fonction irbitraire de 2/5 à l’aide de laquelle on pourra obtenir l’intégrale générale primitive de l’équation (aO; puis on aura l’intégrale de l’équation (a) par la formule

Si l’équation (a') ne satisfait pas à la condition d’intégrabilité, on peut alors lui appliquer de nouveau la méthode de transformation rt que l’on a employée pour l’équation (a). En continuant de cette ^ manière, ou l’on parviendra à une équation satisfaisant à la condition J d’intégrabilité et fournissant, par conséquent, l’intégrale de l’équation proposée; ou l’on s’assurera de l’impossibilité d’appliquer cette méthode de solution.

60. Eclaircissons la théorie précédente par un exemple trèssimple. Prenons l’équation

z/~zz' == 0.

En la comparant à l’équation générale

Gz/+irz'+K == 0,

on trouve que la condition d’intégrabilité (E) est satisfaite; et, on effet, en multipliant l’équation proposée par dx, il vient

dzj — zdz — 0,

54 Ch. n. § 9.

d’où l’on tire, en intégrant, l’intégrale générale du premier ordre contenant une fonction arbitraire de y.

Mais, ne sachant pas intégrer les équations à deux variables «, y, de la forme de la dernière équation, nous ne pourrons pas nous servir de celle-ci pour en tirer l’intégrale générale primitive de l’équation proposée. Si donc nous comparons l’équation proposée à cette autre forme générale

Gz/-{-Hz^-\-K = O,

nous aurons

et en vérifiant si la condition d’intégrabilité

ôs' ) ~ ^

est satisfaite, nous trouverons que son premier membre est égal, non à zéro, mais à s'; par conséquent, l’équation proposée ne peut avoir d’intégrale du premier ordre avec une fonction arbitraire de x.

Il ne nous reste, d’après cela, qu’à recourir à la méthode générale exposée plus haut, et par laquelle on trouve d’abord

f {Gdz'-\-Ildz) ^fdz' ==

introduisons ensuite, au lieu de 3, la nouvelle variable indépendante V, en posant

Si l’on différentie cette équation par rapport à y, et qu’on l’ajoute à la proposée, ü vient

V, = zz'.

Des deux équations précédentes on tire j[

En substituant dans l’équation proposée jles valeurs obtenues pour 25 et ainsi que la valeurs de z/ que l’on trouve en diffé- ■ rentiant par rapport à g/ la seconde des équations ci - dessus , on obtiendra l’identité v, = v^. Mais, pour qu’il n’y ait pas incompatibilité entre les valeurs de 2; et de sj', ü faut satisfaire à la condition ,

Ch. n. § 9.

lue l’on peut encore écrire

dxdy

Liouville a trouvé (*), pour l’intégrale générale de cette équation, l’expression

^ [1 — e9>(^^+^(ÿÿÿ

On tire de là

log^? = log2-j-logq)'(a;)+logi|>'(2^)-f-g>(a;)-[-'*/'(y) — 21og[l —

Enfin, en différentiant cette dernière équation par rapport èb y, on obtient l’intégrale générale de la proposée.

dont il est facile de vérifier l’exactitude. Mais cette intégrale doit satisfaire aussi à l’équation

z-iz^ = W(y).

Pour s’en assurer, on trouve

« 2JÎ1.4- 2V . -r-, 4- , r-r

^ ~ ^ 1— ^ l—gÿ+r^

dy^

g2(jp+2t/y

(dlog^' Y A e9P+t.lf<'

et, en retranchant la seconde égalité de la première.

P) Monge, Application de T Analyse à la Géométrie, 5® édition, corrigée par J. Liouville, Note IV, p. 597.

Ch. IL § 10.

où le second membre peut être égalé à une fonetion arbitraire ^{y) de à cause de la forme entièrement indéterminée de cette fonction et de la fonction

Remarque. De cette manière on obtient, entre autre choses, l’intégrale de l’équation précédente entre les deux variables s et qui est d’une forme assez compliquée. On déduit cette intégrale de la valeur de » donnée tout à l’heure, en y remplaçant seulement q}{x) par une constante arbitraire.

61. Voyons maintenant comment, de la généralisation précé- J dente, on peut tirer la méthode de Laplace(*) pour l’intégration de l’équation’ linéaire

dans le cas où les expressions

N—PQ—P' = A, N—PQ—Q, = a ne sont pas égales à zéro.

Suivant la méthode générale, en multipliant les deux premiers termes de l’équation proposée par dxj et considérant, dans le produit, z^ et Z comme seules variables, puis intégrant, il vient

f(dz,+Pdz) = z.-i-Pz

Introduisons ensuite, au lieu de s, une nouvelle variable dépendante ^ U. en posant t

z^-f-Pz = u\

si l’on différentie cette équation par rapport à æ, et qu’on retranche | *

le résultat de l’équation proposée, il viendra

Q0;+(iV— P')s = M-

En résolvant les deux dernières équations par rapport à s et à z,^ i on trouve

Qu. — = I {.{N— P' ) “ -{■Pu'—MP'].

(^) Histoire de l’Académie des Sciences, 177<

Ch. n. § 10.

Il est évident que l’on satisfera à, l’équation proposée en substituant la valeur de z fournie par la première des deux équations précédentes, pourvu que la valeur de z^ que l’on en tirera soit égale à celle que donne la seconde de ces deux équations. Par suite, la fonction u doit être déterminée par la condition

(M— Qu—u'\ {N--P')u-\-Pv!—MP

en la développant, et ordonnant le résultat suivant l’ordre descendant des dérivées de u, on trouve l’équation linéaire

u/ qu,-\~nu — m,

en posant

n = i\r— P'+ Q,-~ m = -f MP.

62. Nous savons déjà, par le §. précédent, que l’équation transformée ne peut avoir d’intégrale du premier ordre avec une fonction arbitraire de et en effet, en formant l’expression qui doit s’annuler pour qu’ü existe une pareille intégrale, on trouve

5 = n — rpq — — PQ — p' = A pour cette quantité, laquelle est, par hypothèse, différente de zéro.

Formons ensuite l’expression qui doit être égale à zéro, si l’équation transformée a une intégrale du premier ordre avec une fonction arbitraire Aq y \ il vieut

B = n-pq-p' = iV-PQ— P'+(Q,-P')+( j)' »

ou, en vertu des égalités

A = N—PQ—P', a = N—PQ—Q,, »

et de celle qui s’en déduit,

63. On voit par là que B peut être égal à zéro, lors même que A et a ne seraient pas nuis. Si B n’est pas égal à zéro, on peut alors appliquer à l’équation transformée le môme procédé do trans-

Ch. IL § 10.

formation qu’à l’équation proposée. Mais il est encore plus simple, au lieu de former les équations transformées, de prolonger la série des quantités analogues à JS et à J, de la valeur desquelles dépend rintégrabilité des équations qui leur correspondent. Cette série s’écrit de la manière suivante;

I dHogA , .

(I) / oxdy

Si, en prolongeant la suite A, B, C, ..., nous rencontrons un terme égal à zéro, alors la méthode deLaplace est applicable, et le rang du terme qui s’annule indique au bout de combien de transformations on obtiendra l’intégrale cherchée.

64. Dans la recherche précédente, on pourrait attribuer à la variable y le rôle qu’avait x, et vice versa. On obtient de cette manière une autre série, semblable à la précédente.

(II

a = N-PQ — -^,