En appliquant cette méthode à l’équation

z/-\~xyz'—2yz = O,

où P=xy^ Q = O, N = — 2y^ Jl/=0, on trouve, d’après les formules (I),

A = —By, .B = —42/, C=—by, ..., a = — 2^/, b = —By, c = — 4y,

Ch. IL § 10.

Par conséquent, la série des quantités ul, -B, C, ... ne peut se terminer par zéro.

Mais, en appliquant les formules (II), il vient

Par suite, on obtient de cette manière, au bout de trois transformations, l’intégrale de l’équation proposée. En effet, en posant

Z* — Uy

différentiant cette équation par rapport k et la soustrayant de la proposée, il vient

xyz’—2yz = — 24^, et des deux équations qui précèdent on tire

Partant on doit avoir

ou

ul-\-xyu' — yu == 0.

En posant

différentiant par rapport à y^ et soustrayant de l’équation précédente, on a -

xyu^ — yu == —

Des deux dernières équations on tire

on doit donc avoir

U == XV-h— f

1 ou

On tire de là

vZ-j^xyv' == 0.

et

xy'*'

~ ijj'iy) — yfe 2 x(p{x)dx]

par conséquent,

xje .2 (p(x) dx — je

xy-

2 xcp{x)dx.

Enfin, en déterminant la dérivée de u par rapport à ?/, et substituant pour U et Uj leurs valeurs dans la formule

2z == XU-] —

on obtient, pour l’intégrale générale cherchée,

2z = x^'tlj{y) Aç-x^J^e 2 çp{x)dx

+ ^ ^ {xy'^ — l)xq){x)dx.