Une équation linéaire de la forme générale
= ilL,
dans laquelle entrent les trois dérivées partielles du second ordre, et où les coefficients iV, q', 5, t désignent des fonctions données de X et de y^ se ramène à la forme simplifiée que nous avons considérée dans le § précédent, en s’appuyant sur les principes généraux exposés plus haut (Ch. I. § 6). Il suffit pour cela, au lieu de x et de y^ d’introduire dans cette équation, pour variables indépendantes, les arguments a et P des fonctions arbitraires de son intégrale générale. Pour la détermination des arguments a et ^ eux - mêmes , il faut, comme on sait, intégrer deux équations aux dérivées partielles du premier ordre, de la forme
doc dcc
SJ SJ
eæ + ”0ÿ
w, n désignant les racines de l’équation du second degré
Ch. IL § 11.
tirée de la formule générale
dz"
5 ds'^+dz..
OÙ l’on prend pour F le premier membre de l’équation proposée.
67. De cette manière, on ne peut reconnaître si Téquation précédente peut s’intégrer par la méthode deLaplace, avant d’y avoir introduit les nouvelles variables indépendantes, ce qui exige l’intégration préalable des deux équations
dy — mdx^ dy == ndx^ entre les deux variables x et y.
Mais Legendre a fait connaître un procédé pour appliquer immédiatement à l’équation donnée une recherche analogue, sans y changer les variables indépendantes. Il dit, en parlant des résultats qu’il a obtenus: „ C’est le fruit d’un calcul assez pénible, dont je ne crois pas utile de rapporter les détaüs, à cause de leur longueur.^
Mais on peut présenter cette recherche sous une forme assez simple et tout à fait conforme aux recherches exposées dans le §. précédent.
68. Pour cela, introduisons les notations Q et V, définies par les égalités
m et n désignant deux fonctions données quelconques de x et de y.
En représentant par ^«, v des fonctions de a;, ?/, et appliquant une des opérations [] ou V aux fonctions composées on trouve très-facilement
Outre cela, on a, par définition,
[]m — ~\-UU^j
d’où l’on tire
Ch. n. § 11.
En appliquant maintenant à u les opérations Q et V l’une à la suite de Tautre, mais dans deux ordres différents, on obtient les résultats différents
[] = u'' -\-(jrh-\-7i)u\-\-mnu^,-^{^n)uj^
d^où
VD«- □ v« = v«)-
ou, èn posant, pour abréger,
Uf — ■ ~ f
69. Prenons maintenant une équation aux dérivées partielles du premier ordre, de la forme
U^^+PU^+QV^+Nz = M,
N, P, Q désignant des fonctions données de x et de y.
En récrivant de la manière suivante,
□ (V^j P^)4 Q(V^+p.)+(i\^-pQ+Gp)^ = M,
remarquons que, si Ton a
iV~PQ+GP=0,
réquation s’intégrera comme il suit.
En posant
on aura une équation aux dérivées partielles du premier ordre
dont l’intégrale s’obtiendra par la méthode exposée plus haut (§. 7), et renfermera dans son expression une fonction arbitraire de x et de y. Si l’on substitue sa valeur dans l’équation précédente, on obtiendra une autre équation aux dérivées partielles du premier ordre. En l’intégrant absolument comme la première, elle fournira l’intégrale générale du problème, avec deux fonctions arbitraires de x et de y.
Ch. n. § 11.
70. Il y a encore un autre moyen pour intégrer l’équation considérée. A l’aide de l’égalité établie plus haut (art. 68),
□V^ = VD^+f*(V^--D4
on pourra introduire VD^ G par suite de quoi l’équa-
tion proposée prendra la forme
VD«+(Q+f‘)V2+(i’-(*)D^4--afe = M,
et l’on ponrra encore l’écrire de cette manière,
ACG^+CQ+plal+C-P— plCGs+CQ+p)®]
+[iV-(P-^)(Q+p)-V(Q+|a)]a = M
Si donc on a l’égalité
;iV^(P^)(Q j^):V(Q+ft) = 0,
l’equation proposée s’intégrera exactement comme dans le cas précédent.
' 71. Si les expressions
iV^-(P-^)(Q + ;i)- V(Q+fi) = «
sont différentes de zéro, introduisons alors, à la place de s, une nouvelle variable dépendante %, en posant
S^z-\-Pz = U.
En effectuant sur les deux membres de cette équation l’opération [], et soustrayant le résultat de l’équation proposée, il vient
et des deux dernières équations on tire
M--Qu — []u {N~[]P)u-\-Pu--MP
Si dans l’équation proposée on substitue les valeurs précédentes de » et de les valeurs de Qs et de []'\7z, obtenues au moyen
des équations précédentes en effectuant sur chacune d’elles l’opération [], il est aisé de s’assurer que de cette manière on satisfait à l’équation proposée. Mais, pour que les valeurs de èt de four-
nies par la seconde des équations précédentes, soient égales à celles que l’on peut tirer pareillement de la première, il faut nécessairement satisfaire à la condition suivante,
^(M—Qu — \^u\ N—[]P+Pu — MP
ch..n. § 11.
En effectuant dans le premier membre l’opération V? le résultat peut s’exprimer par l’équation
VG«+(i’-^)D«+QV«+
Mais, pour la réduire à une forme générale complètement identique à celle de l’équation proposée, introduisons au lieu de VD^?
après quoi l’équation précédente prendra la forme
en posant
Q—fi,
r = N—[]F+VQ-Q
VA
71. Pour juger de la possibilité d’intégrer l’équation transformée d’après la méthode que nous venons d’exposer, formons les expressions
n — <pçi — \}p = P, w — (p — V(S + ;^) =
En mettant pour 7^, q leurs valeurs, il est aisé de voir que Ton a
en posant, pour abréger.
D’après cela, b est différent de iséro; mais B peut être nul Si B aussi est différent de zéro, on peut alors appliquer à l’équation transformée le même mode de transformation que l’on a appliqué à l’équation proposée. Mais il est encore plus simple, au lieu de former l’équation transformée, de prolonger la série des quantités analogues à P et à 5, de la valeur desquelles dépend l’intégrabilité des équations qui leur correspondent. Cette série se forme de la manière suivante:
IA = N-PQ- GP, « = iV-(P-^)(Q+^)-V(Q+f*),
C= G^ f-2iî— 5 — c — B,
etc
Ch. IL § 11.
La possibilité d’appliquer cette méthode d’intégration est subordonnée à la condition que la série J., C, ... se termine par zéro. iL’ordre du terme qui s’évanouit le premier indique après combien de transformations on peut obtenir l’intégrale cherchée.
; On peut présenter la recherche précédente sous une autre forme, ;en l’appliquant à l’équation proposée, écrite sous la forme
|Mais dans ce cas on n’aurait qu’à répéter tous les calculs ci-dessus, en remplaçant partout les signes
respectivement par
Q+II, P— fA, a, A, V,
72. Pour montrer comment les résultats précédents s’appliquent à l’équation
I , + tz^,-\-(lz,-{-<pz'+Nz = M,
il suffira de prendre pour m et n les racines de l’équation
après quoi, en vertu des formules données plus haut, nous aurons l’égalité
et, en ajoutant celle-ci à l’équation proposée, ü vient []\/z-\~{q — \}n)z,~^pz'-]rNz = M.
jSi l’on y substitue les valeurs
on ramènera l’équation précédente à la forme
à, laquelle s’applique la méthode d’intégration exposée plus haut. 73. Pour éclaircir cette méthode, appliquons-la à l’équation
Thcil LIV.
Ch. n. § 11.
dont la condition d’intégrabilité sous forme finie a déjà été établie par Euler (*).
En posant
= \/z = z'—az,^
on a
par suite, l’équation proposée prendra la forme
DV«+r2^ = O-
On a ici
P=0, Q = 0, iV=-2, M=0, □P=0, VQ = 0,
par conséquent,
On obtiendra d’après cela les séries suivantes.
^3 = 2(A;2+1) — Æj,
otiti
etc.
En continuant ainsi, et poussant jusqu’au terme, il vient
T Rz= kn+1 = 2(!c„ + l) — k„-i.
