OBI
Ainsi les coefficients h satisfont à l’équation aux différences finies
A^jt+l — 1 = 2,
(^) Miscellanea Taurinensia, T. III, p. 60.
f4tè
Ch. n. § 11. 67
laquelle, en introduisant le signe des différences finies A, peut encore s’écrire sous la forme
A^kn-l = 2.
En l’intégrant, on trouve
kn—l n {n — 1) -|— Cn -|— C\
ou
kn C C\
Pour déterminer les constantes arbitraires C, 6^', on a, en faisant tour à tour = 1 et w == 2,
d’où (7 = 0, = 5, et par conséquent
kn — w(w + l)+ô.
De là on tire la condition d’Euler: pour une constante donnée 5, l’équation considérée est intégrable sous forme finie, s’il est possible de satisfaire à la condition
par une valeur entière et positive quelconque de n. En considérant b comme une constante indéterminée, et posant ô = — w(7^+l), on obtient la forme des équations
qui sont intégrables sous forme finie. Si l’on pose successivement on ramène l’équation précédente aux deux suivantes,
If 9 I 2(^^+l)
tf 2 t n
donc l’équation
s’intégre sous forme finie pour toute valeur paire, positive ou négative, du nombre b.
Ch. IIL § 12.
74. Remarque. On sait que la méthode de La place s’applique aussi à certaines équations contenant à la fois des différences finies et des dérivées. Nous pourrions montrer que l’idée fondamentale de cette méthode s’applique également à plusieurs équations linéaires aux différentielles ordinaires du second ordre, de la forme
se
qui
Lei
pi
vai
^ ^ gp (oî) 2/ = ip (æ).
Mais nous ne croyons pas que ce soit ici le lieu d’entrer dans ces détails.
ma:
