L’équation

(1) Hz"+Kz' , + Lz,,+ M+N(z\-z' , 2) = Q,

dans laquelle les coefficients K ^ L, ilf, N sont supposés être des fonctions quelconques x ^ y ^ z^ z\ z^^ représente la forme la* plus générale des équations que nous considérons, pour laquelle ü existe des méthodes tout ‘à fait générales ou une théorie d’intégration.

Monge (*), le premier, a donné une méthode générale pour l’intégration des équations de cette forme (**) ; mais la théorie qu’il propose n’épuise pas tous les cas qui peuvent se présenter dans l’intégration des équations auxquelles se ramène la question considérée. Le développement le plus complet de la théorie de cette question, a été donné par Ampère (***). Parmi les auteurs plus récents qui

m fecli :jSico S ci

(*) Mémoire sur le calcul intégral des équations aux différences partielles. (Histoire de l’Aeadémie des Sciences, 1784).

(**) Il considère surtout le cas de iV = 0 ; mais cette restriction n’est pas nécessaire.

Mémoire contenant l’application de la théorie exposée dans le XVII® Cahier du Journal de l’École Polytechnique. (Journ. de l’Éc. Folyt., t. XI, 1820).

Ch. m. § 12.

se sont occupés de la même question générale, nous ne connaissons que les deux mathématiciens anglais Boole(*) et De Morgan(**). Les procédés proposés par ces deux savants, bien que présentant une analyse beaucoup moins générale et moins complète que le travail d’Ampère, n’ en sont pas moins remarquables par une nouvelle manière d’aborder le problème en ramenant l’intégration de l’équation considérée aux dérivées partielles du second ordre à l’intégration de deux équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre.

’ A l’aide de cette réduction, que l’on peut du reste effectuer, ainsi que B o u r l’a enseigné (***), sans s’écarter des méthodes fondamentales d’Ampère, on établit très-simplement les diverses conditions entre les coefficients \ H^ A, . . . , iV, par l’existence ou la non-existence desquelles se manifestent tous les cas possibles, pour lesquels la théorie de l’intégration a été constituée par Ampère.

76. Les équations, à l’intégration desquelles se ramène la question considérée, s’obtiennent par la méthode d’Ampère, de la manière . suivante. A la place des variables indépendantes primitives, cc, ?/, inîs troduisons les nouvelles variables ic, a, en supposant l’existence d’une certaine dépendance entre ic, y et a. De cette manière, en conservant les notations que nous avons adoptées pour les dérivées partielles dans ces deux systèmes de variables indépendantes nous aurons

dx

dx*

De la dernière équation on tire

éi

dzj

da

j (a) Ueber die partielle Differentialgleichung 2-ter Ordnung Br

1 Tt -f- U (s ^ — rf) = F. (Crelle’s Jour nal für die Matliem., ZXZ, 1863). — - (b) Treatise on Differential Equations. Suppleuientary Volume, 1, 1865; Ch. JCXVIII. — (c) Dans le Mémoire intitulé: „Considérations sur la

^ recherche des intégrales premières des équations différentielles partielles du j second ordre, par Boldt.“. inséré dans le Bulletin de l’Académie des Sciences de St. Pétersbourg, i. IV, 1862, le titre contient, d’apres Todhunter, une faute d’impression relativement au nom de l’auteur, et ce Mémoire doit appartenir à Boole.

Les recherches de cet auteur, publiées dans les Cambridge Philosophical Transactions, Vol. IX. Part, IV, ne me sont connues que par les renvois qu’y fait Boole, tout en faisant remarquer en même temps la ressemblance des méthodes qu’ils ont employées l’un et l’antre.

Journal de l’École Polytechnique, t. XXII: Sur l’intégration des équations différentielles partielles du premier et du second ordre.

Ch. IIL § 12.

ensuite Pavant-dernière donne

dz^ dy du

dx dx dy

du

tirt

sati

■dér

pai

et enfin on aura, en vertu de la première,

dz,

Sa; 8® Sæ \8x) 8 y du

vce(

Dû’

77. Pour substituer ces valeurs dans l’équation (1), remarquons d’abord que l’on a

dz,

'dz\ ^

du

^du

'dZy\ ^

‘ \dx J dx dx dy ' \dx) \ dij

<du

Par suite, en retranchant la seconde égalité de la première, les termes

du second degré en