Pour éclaircir cette méthode, appliquons-la à l’équation
OU
Pi (p**+ 1) + (“ -Ap% — 0.
Le système correspondant d’équations différentielles simultanées prend ici la forme
dxi dx^ dz
P*®+ * “ 2p,pj + a— ï ~ 3p,pa»+ (a—
dpi dpt
PiP* Pt*'
ImscUenetskp: Sur V intégration des équations
L’équation formée en égalant le premier et le dernier de ces rapports donne, en l’intégrant.
On tire de là, au moyen de l’équation donnée,
Pi =
En substituant ces valeurs de et de p^ dans l’équation dz—p^dxi — p^dx^~^^
il vient
dz
Cette équation, multipliée par
se ramène à la forme
Par suite, l’intégrale complète de l’équation donnée sera
ou
' — = ( ± VW7+^ + ^“0 <'• + "•>
Si l’on prend, dans le système d’équations simultanées, l’équation formée en égalant les deux derniers rapports, l’intégration donne
Pi = dip^.
ai désignant une nouvelle constante arbitraire. Au moyen de cette équation et de l’équation donnée, on trouve
aux dérivées partielles du premier ordre.
Cà Ul, /2. 39
Pi = «I V" ’ ' P*— yf di ‘ ’
par conséquent,
dz—pi dxi — p^dæ^ = «Zr — («i + dx^) ^ -1=0.
En divisant cette équation par V ~ — 1, et intégrant,
on ob-
tient l’intégrale complète de l’équation donnée, sous cette autre lorme,
ou
(or, .T, + ÆTa -f ora)^
«O étant une nouvelle constante arbitraire.
28. La méthode précédente pour l’intégration des équations aux dérivées partielles à deux variables indépendantes a été établie par Lagrange dès l’année 1772.
L’équation linéaire à l’intégration de laquelle il ramène le problème n’a pas la forme symétrique de l’équation [F, F,]=0; mais elle renferme moins de variables. Exposons en quelques mots le procédé de Lagrange.
Les dérivées partielles p,, p,^ doivent être considérées comme des- fonctions de x^, x^, z, dont il suffit de déterminer une seule, la valeur de l’autre se déduisant de l’équation donnée
F{xi, x^, Z, /?2) = 0.
Si l’on substitue, réciproquement, ces deux valeurs dans cette même équation, elle se changera en une identité: par conséquent, on pourra la différentier, non seulement par rapport à a:,, mais encore par rapport à z, considéré aussi comme une variable indépendante. Nous aurons, de cette manière,
dF 8F dpi dF dpt
Bxi ^ dpi dxi ^ dp2 dxi *
01 +0^, 82 +0îia 8z
En y joignant la condition d’intégrabilité
I?nsc àene tsky : Sur l’intégration des équations
et éliminant entre les trois équations précédentes les dérivées partielles de p^, on obtient une équation linéaire par rapport aux dérivées partielles de la fonction pi.
dpi dxi ^ 0/?2 ^^2 V * ^Pl ^ ^pl)
^ dF
+ ^ +/^i ôr = 0.
dxi
dans les coefficients de laquelle p2 doit être remplacé par sa valeur tirée de l’équation donnée F=:0. Par cette équation, pi est déterminé en fonction de Xi, x^, z; puis la valeur de la fonction P2 se déduit de l’équation donnée. Les deux fonctions satisfont à la condition d’intégrabilité , que l’on a prise pour base de leur détermination. Donc, par la substitution de leurs valeurs, l’équation
dz — Pi dxi — p^dx^ = 0
devient intégrable, et ^on intégration fait connaître la solution cberchée.
Remarquons que l’équation linéaire préc^'Jcâ.ie conduit au système d’équations simultanées
dxi dx2 dz — dpi
~'dF^ ^ dF '^~dF d F*
^ dp2 dpi^^dp2 dxi^ P^dz
qui est évidemment le même que celui de l’art, 26, à cela près que l’on y supprime le dernier rapport, et que l’on y remplace par sa valeur tirée de l’équation ^ = 0. Les deux procédés sont donc au fond complètement identiques, et conduisent à une seule et même solution, si l’on se borne à déduire du système précédent d’équations simultanées une intégrale renfermant pi et une constante arbitraire. Mais Lagrange avait cru d’abord que, pour avoir l’expression de pi^ il fallait déterminer l’intégrale générale de l’équation linéaire, laquelle doit être de la forme
en désignant les intégrales du système correspondant d’équations simultanées, résolues par rapport aux constantes arbitraires, par
aux dérivées partielles du premier ordre.
Ch. III, S. i2. 41
cpi {xi, X2» h Pi) = const. = «, x.i, Z, pi) z= const. = |3,
(Paixi, Z, pi)z= const. = y,
et représentant par la caractéristique tv une fonction arbitraire.
Si l’on suppose que de l’équation qui représente l’intégrale générale on puisse tirer la valeur de pi sans donner une forme particulière à la fonction n, nous aurons aussi cette fonction dans l’expression de /?2* Cependant il est évident que, entre une relation primitive qui lierait Xi, x^f z, et qui serait de la forme
f[xi, X2, 2, 9?2)] = 0
(/* étant une fonction donnée, et 7t une fonction arbitraire), et les deux équations obtenues par la différentiation de la précédente par rapport à Xi et à X2, il n’est pas possible d’éliminer les trois Btv Btv
■Onctions j k •
' Dans le Calcul des Fonctions (p. 390), Lagrange propose un moyen pour concilier cette contradiction. Mais il faut remarquer qu’elle ne se renconlxe pas dutout, si,^ conformément à la remarque très-juste de Charpit*)^ au lieu de l’intégrale générale de i'c ’ ntion linéaire, on prend une intégrale particulière renfermant la variaUl;:,pj. Ce dernier procédé, au lieu de conduire à l’intégrale généra!^, conduit à l’intégrale complète de l’équation donnée F=0, et a de p’ns l’avantage de ne pas exiger l’intégration complète du système d’équations simultanées. Lagrange, en terminant son exposition, l’établit aussi par cette méthode, sans citer d’ailleurs le nom de Charpit, à qui elle appartient.
29. Si le nombre des variables indépendantes, dans l’équation aux dérivées partielles du premier ordre, est plus grand que 2, alors le problème de l’intégration présente un caractère plus compliqué. En effet, déjà dans le cas de trois variables indépendantes, il faut (§§. 10 et 11), étant donnée la fonction F des variables a7|, 0:2, x^, z, pi, /?2» Ps» 9’^* forme le premier membre de
*) IVÏcmoîrc présenté à l’Académie des Sciences par Charpit, le 30 juin 1T81.
Imschenetshy: Sur ^intégration des équations
Tequation proposée F=0, déterminer deux fonctions F,, F, de ces mêmes variables, satisfaisant aux conditions
Par conséquent, la fonction Fj peut être déterminée, de même que dans le cas précédent de deux variables indépendantes.
comme intégrale particulière d’une équation linéaire du premier
ordre; mais, pour déterminer la fonction il faut trouver une intégrale particulière, satisfaisant à la fois aux deux autres équa-
tions simultanées linéaires aux dérivées partiélles.
Si le nombre des variables indépendantes est tî, alors, étant donnée la fonction F des variables ari,..., ar», 2, /?«, qui
forme le premier membre de l’équation proposée F=0, il faut déterminer n—l fonctions Fj, F^,.., Fn-i des mêmes variables, qui satisfassent aux conditions
La fonction F, se détermine comme une intégrale particulière de
la première des équations précédentes; la fonction F2 comme une intégrale particulière satisfaisant simultanément à la 2^ et à la 3^
équation, etc.; et enfin Fn—i doit être une intégrale particulière
satisfaisant simultanément aux n — 1 dernières équations.
C’est de cette manière qu’a été présenté le problème de l’in-
tégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre dans le Mémoire de Jacobi intitulé: Nova methodus, etc. (Journal de Crelle-Borchardt, t. LX). Quoique ce nouveau procédé de solution soit, par l’époque de .sa découverte, postérieur aux autres, cependant il forme par sa nature la continuation directe des premiers pas faits par Lagrange et Charpit dans la théorie du problème qui nous occupe. C’est pour cela que j’exposerai ce procédé avant de parler d’une autre méthode de solution, proposée par Pfaff, et perfectionnée par Jacobi luimême et par Cauchy.
