Jacobi commence par transformer l’équation donnée

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. nu S* i4. 43

(a) F(Xi,...y Xny 2, /?n)=0

en une autre, également aux dérivées partielles du premier ordre, mais dans laquelle la fonction inconnue n’entre pas elle -même explicitement, et où le nombre des variables indépendantes est plus grand d’une unité.

Mais dans cette transformation s’est glissée une inadvertance, signalée par Bertrand, et qui consiste en ce que Jacobi lie la nouvelle fonction inconnue à l’ancienne par une relation de forme particulière, d’où il résulte que le passage de l’intégrale de l’équation transformée à celle de l’équation proposée conduit dans la plupart des cas à des impossibilités.

En effet, Jacobi, en introduisant une nouvelle variable indépendante U et désignant la nouvelle fonction inconnue par y, pose

y = it.

On tire de là, en différentiant par rapport à chacune des variables indépendantes,

0y Sz 1 0y 02 1 0y

* 0f* dxi t dxi * * * * ' Sa:n t dxn

En substituant dans l’équàtion proposée les valeurs précédentes de la fonction z et de ses dérivées partielles, on la transforme dans la suivante.

Xjl* 0^ *

t dxi* ’ t dxn

Dans cette équation les variables indépendantes ..., :rn> ^ sont en nombre plus grand d’une unité que dans la proposée, et la fonction inconnue y y entre seulement par ses dérivées partielles du premier ordre.

Mais, pour que de l’intégrale de l’équation ainsi transformée on puisse tirer l’intégrale de l’équation donnée, il faut, en vertu de la dépendance que l’on a supposée entre ces intégrales, »que, dans la première, la variable indépendante t n’entre qu’en facteur commun, ce qui évidemment ne peut avoir lieu que dans des cas particuliers. Par conséquent, la transformation précédente n’atteint pas, la pluspart du temps, le but proposé. Il vaut mieux, d’après cela, ne pas choisir d’avance arbitrairement la forme de la relation qui doit exister entre les deux intégrales, mais employer pour la transformation le meme procédé général qui nous a servi dans l’intégration des équations linéaires aux dérivéos partielles.

Imschenetshy: Sur Vintègralion des équations

31. Si l’on représente, en effet, l’intégrale de l’équation donnée sous la forme

Xn* 2) — . 0,

et qu’on la différentie par rapport à chacune des variables indépendantes, on trouve, par chacune des valeurs r= 1, 2,..., w.

dy dy AJ»'

dxi

En portant ces valeurs de pi dans l’équation donnée, elle prend la forme

^Xi, . . . Xfif

8xj

dXn

Dans cette dernière équation, on devra considérer Xi,.., Xn, 2 comme variables indépendantes. La méthode de Jacobi, ainsi que nous le verrons plus loin, fournit l’intégrale , complète y de l’équation précédente sous la forme d’une fonction explicite.

y — • • • > 2, U|, . . • , ün)

flj,..., Qn, «n+i désignant des constantes arbitraires. Par conséquent, en retranchant du second membre de l’égalité (c) la constante arbitraire qui y entre par simple addition, et égalant

ce second membre à zéro, nous obtiendrons l’intégrale de l’équation donnée, sous la forme d’une fonction implicite 2, déterminée par l’équation

{d) y cr»-|-i = 0, ou f{xi,.,., Xn, 2, Oi,..., On) = ü.

En effet, puisque l’équation (c) représente l’intégrale de l’équation (6), en substituant dans celle-ci la fonction f au lieu de y, on aura l’identité

/ dXi Bxn \ .V

(f) ^ • • • • » ^ny 2, ' 0^. J U,

' dz

qui a lieu pour deî| valeurs quelconques de Xny 2. Sup-

posons maintenant la dernière de ces variables déterminée en

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. Ill, §. i4. 45

fonction de toutes les autres au moyen de l’équation (rf); elle sera alors l’intégrale de l’équation (a) ; car de l’équation {d) on tire

Bxi

Bxn

Bxi

Zf ' Bz

et, en substituant ces valeurs des dérivées partielles de z dans l’équation (a), on retombe sur l’identite (/), qui a lieu pour une valeur quelconque de 2, et par suite aussi pour celle qui est tirée de l’équation {d).

Il est ainsi démontré que l’intégration d’une équation dans laquelle la fonction inconnue entre non -seulement par ses dérivées partielles du premier ordre, mais encore explicitement par elle -meme, peut toujours se ramener à l’intégration d’une autre équation, dans laquelle le nombre des variables indépendantes est plus grand d’une unité, et où la fonction inconnue n’entre que par ses dérivées partielles du premier ordre. ^

32. Si, dans l’équation proposée, la fonction inconnue n’entre que par ses dérivées partielles du premier ordre, alors son type général pourra être représenté sous la forme

xn,

H{x^,..., Xn, Pi,..., Pv) = a,

en faisant généralement

dxi

Ici H désigne une fonction donnée, a une constante déterminée, qui peut être aussi égale à zéro.

Le problème de rintégration complète de l’équation précédente peut être réduit à la détermination de w — 1 équations,

. ~ Hn—\. = Un— Ij

dans''lesquelles Oj, 02,..., Un—i désigrient des constantes arbitraires, et /fl,..., //n-i, de même que //, des fonctions des varia-

Imschenetsky: Sur tHnlègralion des équations

blés ÆTi,.., Xn et des dérivées partielles />«, indépendantes

entre elles par rapport à ces dérivées*), et ne contenant pas les constantes arbitraires aj,..., «n— i. Si les fonctions Hn-\ sont déterminées de telle manière que les valeurs de Pi,pi***iPni tirées des équations

(l) = fl, Hi ~ Hn-~\ ^ fln— 1>

transforment le second membre de l'équation

(2) dz = Pi dxi + p2<dx.i + . . . + pndxn

en une diflférentielle exacte, alors l’intégrale complète cherchée s'obtiendra par l’intégration de cette dernière équation, et sera de la forme

2 — Xnt «x»*.*, fln— l) -f- fl».

Par hypothèse, les fonctions H y Hi,.,, Hn-i ne contiennent pas s; par suite, les valeurs de /?|,..., /?«, tirées des équations (1), seront exprimées au moyen des seules variables indépendantes Xi,..yXny et les conditions d'intégrabilité du second membre de l’équation (2) seront, dans le cas actuel, de la forme

dpi ^

dxk dxi*

£n supposant que les valeurs de pi,..,, pn, tirées des équations (l), satisfassent aux conditions (3), on pourra trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire dans ce cas les fonctions Ui, H^y..y Hfi-iy cxactcment de la même manière que nous avons trouvé, au §. 11, les conditions analogues pour les fonctions -Fi,.., -F»— i. D’après cela, pour éviter les répétitions, nous nous bornerons à dire que les résultats du §. 12. s’appliqueront au cas actuel, si nous y remplaçons F, Fi,,,., Fw-i respectivement par H, /fx,.., Hn-U en eftaçant les parenthèses qui entourent les dérivées partielles, et qui sont maintenant inutiles, puisque les fonctions considérées ne contiennent plus z.

•) C’e«t-à-dire qii^entre les fonctions //, Hn^l il ne doit

exister aucune relation nécessaire de la forme

Hn, ^i,***, ^n) =0,

dans laquelle les variables //j,..., pn n’entrent pas explicitement. En vertu du théorème du §. 3, cette condition est remplie, lorsque le déterminant fonctionnel de Hy Z/n— l, considérées comme fonctions de

Pyy...y Pn 1 n’est pas identiquement nul.

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. U J, S. 15. 47

33. Il s’ensuit de ce qui précède qu’entre les fonctions H, Hi,...., Hn^i, prises deux à deux, on doit avoir des relations de la forme

I^JhdJh dHk dHi dHk m dHk

8xi dpi 8pi dxi ^.3^2 ^P2 ^^2

8^ ^ mi SHk „

ëxn ëpn 8pn S^n

que nous représenterons sous la forme abrégée (5) (Ni, Nk) = 0.

En faisant successivement, dans l’équation (5), i == 0, 1, 2,..., w — 2

(No étant considéré comme = N), et, pour chaque valeur de i, donnant successivement à l’indice k toutes les valeurs > i, jusqu’à

n — 1 inclusivement, nous aurons toutes les ^ conditions

qui découlent de la formule (5), et que l’on peut disposer dans l’ordre suivant:

(N,Ni)==i)U(N, N2)=.0,i(N, N^)=0,...,i(H, Nn-i)-0,

{(Ni, N^)=0;\(Ni, N^) = 0, \(Ni, Nn-i)^0,

\(N^,N^)=.0;...,kN^, Nn^i)^0,

HNn^2,N„-i)=^0.

Si l’on considère ces conditions comme des équations diffé rentielles servant à la détermination des fonctions cherchées, on pourra trouver Ni par l’intégration de la première équation; en substituant la valeur de Ni dans les équations de la seconde ligne ; de chaque groupe, on devra déterminer la fonction N^ comme > une intégrale satisfaisant simultanément aux deux équations du • second groupe; en substituant la valeur de N^ dans les équations J de la troisième ligne de chaque groupe, on devra déterminer la l| fonction comme une intégrale satisfaisant simultanément aux trois équations du troisième groupe; et ainsi de suite.

\ 34. Mais, pour réaliser ce plan de solution, il faut trouver

une méthode d’intégration simultanée pour les deux équations du 2« groupe, pour les trois équations du 3® groupe,..., et enfin pour les w—l équations du (n — groupe.

48 Imschenetsky: Sur V intégration des équations

Outre cela, toutes les équations (6) sont de forme identique, et contiennent chacune variables indépendantes ; mais il est clair que l’on peut se servir de l’équation donnée H^a et des

équations que l’on détermine successivement, =«1, pour diminuer au fur et à mesure le nombre primitif des variables indépendantes, en passant d’une groupe d’équations simultanées au suivant.

Enfin, remarquons aussi que nous avons démontré que, si les valeurs de pn> tirées des équations (1), vérifient les conditions (3), alors les fonctions Hi, Hn-i satisfont aux

équations (6). Mais, pour avoir le droit de prendre celles-ci comme moyen de détermination des fonctions Hi,,.,, Hn-i, il faut s’assurer encore que la conclusion réciproque a lieu; c'està dire qu’il faut démontrer que, si les fonctions indépendantes entre elles (dans le même sens qui a été expliqué plus haut) H, /f,,..., Hn—i vérifient les conditions (6), alors, en les égalant à des constantes arbitraires, on obtient des équations d’où l’on peut tirer des valeurs de /7j,..., pn satisfaisant aux conditions (3).

L’étude plus approfondie des propriétés des expressions {Hiy Hk), exposée dans les deux paragraphes suivants, donne les moyens d’atteindre le but indiqué ci-dessus, et permet en outre de déduire encore d’autres conclusions utiles par leurs applications à l’intégration des équations simultanées soit aux différentielles ordinaires, soit aux dérivées partielles du premier ordre.