du
se détruiront, et l’on aura
\0a; / \dx dx dx J
du
D’après cela, le résultat de la substitution prendra la forme
lie
^•lei
ra
la
où l’on a posé
''(c-ïfe)+“s+"-''(lf)’-
«=-(l)’-*2ï+^+''(Ê+iÈ)-
Ch. m. § 12.
78. Les valeurs de la fonction » et de ses dérivées partielles, tirées de l’intégrale générale correspondante à l’équation (1), doivent satisfaire à cette dernière. De même, en exprimant la fonction z et ses dérivées partielles au moyen des variables x et a, nous satisferons, par ces expressions, au résultat de la même transformation opérée sur l’équation (1), c’est-à-dire à l’équation (4).
Jusqu’ici le choix de la dépendance entre les variables x, ?/, a est resté arbitraire; mais, si l’on suppose maintenant que cc représente l’argument d’une des deux fonctions arbitraires qui entrent dans l’intégrale générale, alors il sera possible de tirer, des conclusions précédentes, des conséquences très-importantes. Car, avec ce choix de nouvelles variables, en vertu de ce qui a été démontré plus haut (Ch. I, §. 4), les expressions des dérivées partielles de la fonction s; pourront être homogènes ou hétérogènes à l’intégrale par rapport à a; et dans ce dernier cas, les expressions de chaque ordre de dérivées partielles de 2: contiendront des fonctions arbitraires de a telle qu’il n’en entrera de pareilles ni dans l’intégrale, ni dans les expressions des dérivées des ordres précédents. Par conséquent, si l’on suppose les dérivées du second ordre z", z'^, z^^ hétérogènes à l’intégrale par rapport à cc, on devra admettre, dans l’expression
Ba
Bcc
la présence d’une fonction arbitraire de cc qui ne se trouve ni dans l’intégrale générale, ni dans les expressions de y, z', z„ ni dans leurs
dérivées partielles ~ ; car, dans la différentiation par
rapport k x, cc est regardé comme une constante. Donc la fonction arbitraire de a dont il s’agit ne pent entrer ni dans P, ni dans et le premier membre de l’équation (4) ne peut se réduire à zéro que si l’on a à la fois les deux égalités
79. Réciproquement, pour juger si les dérivées du second ordre n «/y, dans l’équation (1), sont hétérogènes à l’intégrale par rapport à cc, il suffit de prendre les équations (5), et, en leur adjoignant les deux premières équations (2), d’éliminer entre ces quatre équations
les trois dérivées
ox ox ox
Si le résultat de l’élimination
est identique avec l’équation proposée (1), les équations (5) lui seront équivalentes, et la supposition de l’hétérogénéité à l’intégrale, par rapport à a, des dérivées z", z'j, z^^ sera légitime. Au contraire, cette
Ch. m. § 12.
supposition se trouverait fausse, si Ton obtenait pour résultat de l’éli-
mination une équation entre a;, «/, 0, 3^^, différente de (1).
80. Mais il est facile de s’assurer que, pour l’équation (1), c’est toujours le premier cas qui a lieu. Si l’on substitue, en effet, dans 0/ 0^
les équations (5) à leurs valeurs respectives
ex ex
‘ dx’
on trouve
fflll;
tlOI
OU
m"+2Kz’,+M-N//+2{K-N^',)zJg-{H+N,,;)z,,(^£j" = 0,
L+Nz"-2{K-Nz',) ^£-\-{H+NzJ 0,
et il est évident que, pour éliminer il suffit d’ajouter la première
de ces deux équations à la seconde multipliée par ce qui conduit à l’équation proposée
m" + 2Kz' , + Lz^^+M-\~N{z'' z^^- z' = 0.
81. Les équations (5), auxquelles on a ramené ainsi l’intégration de l’équation proposée, sont du premier ordre, mais non du premier degré, et sous ce dernier rapport elles sont susceptibles d’une nou-
velle simplification. Pour cela, résolvons par rapport à l’équation
(jX
Q=0, ou l’équation qui lui est équivalente
iH+NzJ^^J-2{K-Nz',)^£ +Z,4-iV.'' = 0;
il viendra
^ __ K—Nz'i±V(K—Nz',)^—(H-\-NzJ(L+Nz") 0æ H-\- Nz,,
K- Nz\±-V (lP-HL-N\Hd'-\~2Kz' , + Lz,,-\-N(z'’z,-z’,^)']
jï+ivfe„
Ch. IlL § 12.
ou, en vertu de l’équation (1),
dy K—Nz',±-\^K'^ — HL^MN
82, On obtient de cette manière, pour deux valeurs, ce qui
ex
devait être, puisque la variable indépendante «, que nous employons conjointement avec æ, représente un des deu^x arguments des fonctions arbitraires de l’intégrale générale. Si l’on désigne ces arguments
par a et /3, les deux valeurs différentes de ~ devront correspondre
ox
\ aux deux systèmes différents de variables indépendantes: x^ «, et x^
; p. En effet, il a été démontré ci-dessus (Cbap. I, §. 6) que les
valeurs différentes de correspondantes aux arguments a et |5,
s’obtiennent comme racines de l’équation
dz^j dz'^dx dz'\dx)
Si l’on désigne maintenant par F le premier membre de l’équation (1), on trouve
Par conséquent, les deux équations du second degré en gonttout à fait identiques.
