Si l’on pose, pour abréger
nous aurons, à la place de Q = O, l’équation
(ir+ifej II - K+Nz\ + Vg=0.
\ De plus, l’équation P = 0 peut s’écrire ainsi,
, et, par suite de l’équation précédente, elle prend la forme
Ch. m. § 12.
Les signes différents de Vér correspondent aux systèmes différents de variables indépendantes; a, et x, La présence de la seconde variable indépendante a ou jS ne se manifeste pas, parce que les équations ne contiennent que les dérivées partielles des fonctions
par rapport à x seulement, tandis que a ou j3 n’entrent pas
explicitement, même dans les coefficients. Pour indiquer laquelle des deux quantités a, /3 on considère, en même temps que x, comme variable indépendante. Ampère emploie, dans ce cas et généralement dans les cas analogues, la notation suivante pour les dérivées partielles.
dx{a
dx(cc’
Bx(cc*
Bx(l3
Bx(^*
Bz,
Bx{^‘
84. D’après cela, en conservant devant le signe supérieur quand les variables indépendantes sont x, «, et le signe inférieur quand elles sont x^ |5, on pourra écrire comme il suit les équations auxquelles se ramène finalement l’intégration de (1),
By
Bz.
a^/?^ Bx(^
Bz,
A chacun de ces deux systèmes on peut encore joindre l’équation
Bx
dans laquelle, en même temps que x, il entrera pour seconde variable indépendante, soit a, soit |3, suivant que l’on combinera l’équation (C) avec (A) ou avec (B).
85. Ici il est à propos d’indiquer aussi les autres méthodes, dont il a été question au commencement de ce Chapitre, pour ramener l’intégration de l’équation (1) à d’autres équations analogues à celles d’ Ampère (A), (B), (O). Monge a considéré la forme générale des équations, linéaires seulement par rapport à z", z'j, zy^ mais sa méthode s’étend facilement aux équations qui sont linéaires aussi par rapport à z’ c’est-à-dire à l’équation générale
Hz" + 2KZ' ,-{-Lz,, + M-\~ N(z" z^,--z' = 0.
?:si]
Il commence par cette remarque, que l’équation proposée, représentant une relation simple (unique) entre les trois quantités z\
2^^, ne peut être suffisante pour la détermination des valeurs de chacune d’elles au moyen de x, y, z, z\ z,. Donc, si l’on y joint les deux équations
dz^ — z" dx-\-z' fdy^ dz^ — z' ^dx-\-z^^dy^ «
lesquelles , exprimant seulement les définitions des dérivées partielles z' z^j, ne donnent pas entre elles de nouvelles relations („ne disent rien de nouveau^) ; et si par leur moyen on élimine de l’équation proposée deux quelconques des quantités z^^^ on obtien-
dra ainsi des équations de la forme
p-f. = 0, jR+ Sz" == 0, T+ Uz', = 0,
qui ne devront pas déterminer les valeurs de z^^^ z'\ z\. Par conséquent, les équations précédentes, ayant lieu indépendamment des valeurs des quantités z^^^ z\ z\^ devront se réduire respectivement aux suivantes,
Mais il est aisé de voir que, de ces six équations, deux seulement sont nécessaires, par exemple, les deux équations
les autres étant ou identiques, ou équivalentes à celles-là. En effet, si l’on opère l’élimination en question, on trouve
P = H{dxdz' — dydz^) + 2Kdxdz, + Mdx^ — NdZj'^ = 0,
R == L {dydz^ — dxdz') -j- 2Kdydz' -j- Mdy^ — Ndz' ^ = 0,
T — H dydz' -[“ dxdzf\- M dxdy -f- Ndz^dz^ — 0, et
Q = >S = — f7== Hdy^—<2Kdxdy-\~Ldx^-\-N(dxdz^-\-dydz,) = 0. Or comme
dxdz' -\-dydZf — z'dx^-\-2z' jdxdy-\-z^^dy'^^ la dernière équation prend la forme
{H-\-Nz^;)dy^—2{K—Nz';)dxdy-\-{L-{~Nz’')dx^ = 0.
, - 1, . . ^ dy ^ dx
En résolvant celle-ci successivement par rapport a — et a — » on trouve, au moyen de l’équation proposée,
Ch. UI. § 12.
dx^
dx
K — Nz' ^±iG L-\~Nz'' .
OÙ
