G^K^-—HL^MN
Chassant les dénominateurs, transportant tous les termes dans un même membre, et ayant égard aux équations
dz' = z' dx-\-z' fdy^ dz^ = z' ,dx-\-z^jdy^
on pourra écrire les équations ci-dessus de la manière suivante,
(a) Hdy + Ndz^ — (^ + V dx -= 0,
(a') Ldx+Ndz[ — {K±-]/'&)dy = 0.
De plus, réquation P = 0, écrite sous la forme
Hdxdz'-\-(2Kdx — Hdy — Ndzydz,-\-Mdx^ == 0,
devient, en vertu de l’équation (a).
(b) Hdz' + (P + -/é?) dz, -f Mdx = 0.
De cette manière, les équations P = 0 et Q = 0 sont remplacées par (a) et (b).
Ensuite, l’équation P = 0, écrite sous la forme
L dydz^ + {^Kdy — Ldx — Ndz') dz' + Mdy^ -= 0, devient, en vertu de l’équation (a^,
(b') L dz, + (P+ -]/ G) dz' -f Mdy = 0.
Par conséquent, 5 = 0 et P = 0 peuvent être remplacées par les équations (a') et (b'): or l’équation (a') est équivalente à (a), et (b') s’obtient par l’élimination de dx entre (a) et (b). *
Enfin, l’équation T = 0, écrite sous la forme
dz,{Ldx-{~Ndz')-\-{Hdz'-{~Mdx)dy = 0,
devient, en vertu de l’équation (a'),
(b) Hdz' + Mdx + (P + y^) dz, = 0.
Donc les équations P=0, P=0, et P = 0, P = 0 se réduisent aux seules et mêmes équations (a) et (b).
86. Ainsi, d’après la méthode de Monge, l’intégration de l’équation (1) se ramène à l’intégration du système des équations
Ch. m. § 12.
Hdy+Ndz^ — {K±'\/G)4x = 0, Hdz'+{K+-\/G)dz,-\-Mdx = 0, auxquelles on peut encore joindre la suivante, dz == Z* dx ~\~z, dy.
Les équations d’Ampère (A), (B), (C), étant multipliées par dx^ deviennent identiques de forme avec les précédentes; mais ces deux systèmes d’équations se distinguent essentiellement en ce que l’un contient les différentielles des deux variables indépendantes et les différentielles totales des variables dépendantes, tandis que dans l’autre il n’entre que la différentielle d’une seule des variables indépendantes, avec les différentielles partielles des variables dépendantes par rapport à cette variable indépendante.
87. Considérons encore la méthode de Boole. Elle est fondée sur la supposition de l’existence d’une intégrale intermédiaire ou du premier ordre pour l’équation (1). L’auteur de la méthode expose cette idée foudamentale sous deux formes différentes, pour atteindre un seul et même but. Mais, en raison, du défaut de généralité du fondement de cette méthode, il suffira de considérer une seule de ces formes.
Soit
l’intégrale du premier ordre supposée de l’équation (1). Dans sa composition, outre les variables x^ z, il entre aussi z' et z^ ; par suite, en la différentiant par rapport à £c et à y, il vient
Ces deux équations peuvent servir au même but pour lequel, dans la méthode de Monge, on a employé les équations
dz' = z"dx-\-z' fdy^ d.z, — z' ^dx-\~z^/ly.
Mais de cette manière on serait conduit à répéter tout ce qui a été développé dans l’exposition de la méthode de Monge; seulement, au lieu de
dx^ d.y^ dz' ^ d,z,^
on emploierait ici rcspectivcmet
dF
dz'^
dz/
Ch. m. § 12.
/dF , dF A /dF , dF \
\0aj dz ^ j’
On peut donc écrire directement les équations auxquelles se ramène l’intégration de (1),
î^ûlit
Ainsi, des deux intégrales du premier ordre possibles en général ^ ^ pour les équations aux dérivées partielles du second ordre, l’une doit ; f satisfaire aux équations simultanées linéaires précédentes aux dérivées i ^
partielles du premier ordre, où l’on prend Y G avec les signes supérieurs (ou inférieurs) ; et l’autre doit satisfaire aux mêmes équations, . où l’on prend Vg avec les signes inférieurs (ou supérieurs).
88. En comparant ces trois méthodes, il est impossible de ne pas accorder la préférence à celle qu’a proposée Ampère: en premier lieu, à cause de la généralité du procédé, fondé sur la seule hypothèse de l’existence d’une intégrale finie de l’équation (1), en quoi elle a l’avantage sur la méthode de B o oie, qui suppose l’existence d’une intégrale générale du premier ordre, tandis qu’une telle intégrale n’est pas toujours possible, lors même que l’intégrale finie existe; en second lieu, à cause de sa plus grande clarté, par comparaison avec la partie analogue de la méthode de Monge, dans laquelle l’équation transformée (1) se partage en deux; enfin, en troisième lieu, à cause de la forme des équations auxquelles se ramène l’intégration de (1). On est conduit par une voie naturelle aux intégrales d’Ampère par les fonctions arbitraires des arguments a ou nécessaires pour leur généralité; car elles ne renferment que les dérivées partielles ou les différentielles par rapport à une seule des variables indépendantes, x.
Relativement à la seconde des trois considérations précédentes, il faut encore remarquer qu’ Ampère, ayant indiqué avec précision , la cause pour laquelle l’équation transformée (1) peut être partagée en deux, a expliqué en même temps de quoi dépend la possibilité ou l’impossibilité de l’application de cette même méthode à d’autres équations, différentes de (1).
89. Prenons, pour cela, l’équation aux dérivées partielles du second ordre
en la supposant entière et rationnelle, n de forme différente de (1).
du moins par rapport à s",
Ch. m. § 12.
En admettant pour cette équation l’existence d’une intégrale générale finie, et prenant l’argument a de l’une des deux fonctions arbitraires pour variable indépendante, en même temps que x, on obtiendra pour z'„ les expressions (3). En les substituant dans l’équation proposée, et ordonnant le résultat suivant les puissances
ascendantes de ^ •’ on obtiendra une équation transformée , de la
forme
da
da
da
• da
De même que l’équation proposée sera satisfaite par les valeurs de Z, z', Z,, s", 2'^, z,^, tirées de l’intégrale, en supposant que les variables indépendantes soient x et de même l’équation transformée devra être satisfaite par les valeurs de y, z, z\ z,^ déduites des mêmes équations de l’intégrale dans l’hypothèse de rc et de « variables indépendantes. Mais l’équation transformée peut se changer en identité de deux manières, selon que les dérivées du second ordre s", z' z^^ seront hétérogènes ou homogènes à l’intégrale par rapport à a.
Dans le premier cas, le rapport ^contiendra une fonction arbitraire de a qui n’entrera pas dans les coefficients P, Q, P, . . . , et ces derniers se réduiront d’eux-mêmes à zéro. Dans le second cas,
Sz Sy
les mêmes fonctions arbitraires entreront tant dans le rapport ^
que dans les coefficients; par suite, le premier membre de l’équation transformée pourra se réduire à zéro, sans que l’on ait les
identités P = 0, Q = 0, Pour juger de la possibilité du premier
cas, il faut poser les équations
dz' dz,
puis y remplacer par leurs valeurs respectives
après quoi elles ne contiendront plus que
Ch. m. § 12.
