Si l’on obtient, comme résultats de l’élimination de

des équations équivalentes entre elles et à l’équation proposée F = 0, alors l’hypothèse de z \ hétérogènes à l’intégrale par rapport

à a (quel que soit celui des deux arguments que l’on représente par a) sera vérifiée-, dans le cas contraire, elle ne le sera pas. Dans cette élimination, on peut généralement, de chacune des équations

0, Q = 0, dy

déduire des valeurs de et les suhitituer dans les autres. Mais,

pour se borner à la seule considération de celles d’entre elles qui correspondent réellement aux deux arguments cv, |5 des fonctions arbitraires de l’intégrale, prises successivement pour variables indépendantes en même temps que a?, il faut les égaler aux valeurs de

^ obtenues comme solutions de l’équation du second degré

dz^^ dz' jdx~^dz"\dx) '

En y substituant pour z", z\^ z^, les valeurs (3), il vient

dz,

'dz\^ fdz' ^ycz^

\0æ / jdx ^ \0aî ) \3a3 'dx dx )

da

dy

dc£

L ' dx dx J dx

—da —

En égalant à zéro les coefficients des différentes puissances du

dz. dy , , ,.

rapport nous aurons les équations

ou bien on peut, si c’est plus simple dans le cas proposé, prendre les deux racines de cette équation pour les substituer dans

91. Four éclaircir ce qui précède, considérons, par exemple, l’équation

Ch. IIL § 12.

dx \0æ dxdx}\ ’

' dx dx)

En vertu de la première de ces équations, la seconde est aussi satisfaite, et la troisième se simplifie, en sorte qu’il suffit de considérer les deux équations

^ -0 dx ~

dz'\^ dy dx

lesquelles, par la substitution des valeurs

SI , Sj/

dx ^ ^ ^ dx'

dx ''^^"dx"

prennent la forme

Mais, en substituant dans la seconde de ces équations la valeur

dy

tirée de la première, elle devient

équation équivalente à la proposée. Par suite, la valeur

Sÿ ^ ©

dx{a

peut correspondre, dans l’intégrale finie supposée, à une fonction arbitraire d’un argument a, par rapport auquel les dérivées secondes z\ z' J, z^^ sont hétérogènes à l’intégrale.

Du reste, on doit encore pouvoir vérifier que cette valeur est racine de l’équation du second degré

^ dj^d y dj

dz,~dz',dx'^dz"\dxj qui, dans le cas actuel, est de la forme

Ch. m. § 12.

dy

Pour cela, en divisant son premier membre par + on obtient j pour quotient

1 kh \

et pour reste

Ce dernier est égal à zéro, en vertu de Téquation proposée; par

Sy

suite, la valeur ^ = ■ — ^ est effectivement une racine de l’équa- ïj;

tion du second degré ci-dessus. Son autre racine se trouve en éga- 1* lant le quotient à zéro, et résolvant l’équation obtenue par rapport à J dy

dx

Il vient ainsi

if.

dx{^ 2x{z'*z^—z' z^/

Cette valeur correspond évidemment à l’argument /5, qui entre sous® le signe d’une fonction arbitraire dans l’intégrale générale finie sup- | posée, de telle sorte que toutes les dérivées z\ z^^ z'\ z\^ z„ soient homogènes à celle-ci par rapport à |3.

^Pa

92. I)ans le § précédent, nous avons vu que le problème de l’iutégration de l’équation

H^'-\~2Kz',^Lz„-\-M-^N{^*z,—z^;^) = O

se ramène à l’intégration d’un système de plusieurs équations, que, pour abréger, nous pourrons écrire ainsi.

B:dy-^Ndz—KK±iG)dx = O, Hdz' + (^+ i/G) dz, -f Mdx = 0, dz — z' dx — z^ dy = 0.

■ déri l’den

Relativement à ce système, examinons d’abord la question suivante :m,. J A quelles conditions, et en quel nombre peut -il exister, pour les

Ch. m. § 13.

équations (2), des intégrales de la forme w = const., u étant supposée une fonction de æ, y, z' ^ Zj?

Dans les équations (2), il faut prendre partout ou les signes supérieurs, ou les signes inférieurs devant VG] on a donc deux systèmes d’équations simultanées incomplètes, le nombre des variables a?, y, Z, z\ z^, qui entrent dans chacune d’elles, étant plus grand de deux unités que celui des équations. On peut appeler intégrale de ces systèmes d’équations difiérentielles toute fonction u des variables a?, y, Z, z’ ^ z^^ dont la différentielle est identiquement égale à zéro en vertu des équations (2). Or, en résolvant les équations (2) par rapport à Js, dz\ dz^^ on trouve

dz = Z dx-\~ Z ^dy^ dz' —

-Tjdx-\ dy,

k±Vg h

dz, = ^ dx— -dy,

et, en substituant ces valeurs de dz^ dz', dz, dans l’expression de du, il vient

[Su , ,Su Lëw K±iGdu\

, (du , du , K'::^-VGdu Hdu\

+ \dy + 02 + N dz' ~~ N dz,)

Par conséquent, du se réduit à zéro, et u -= const. est une intégrale des équations (2), si la fonction u satisfait aux équations linéaires et homogènes par rapport aux dérivées du premier ordre

du ,du Ldit G du

dx'^ dz Ndz' ' N dz, ’

du du K’^çy'Gdu H du

dy 02 + N dz' N dz,~

93. La théorie de l’intégration des équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre n’a été élucidée que dans ces derniers temps, grâce aux travaux de Jacob i, de B ou r et de Boole^O,

Une esquisse de cette théorie a été exposée dans ma-dîssertation „Sur l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre.“ (Archiv d. Math. u. Physik, Bd. L., S. 393 — 416, §§. 23 — 25).

Ch. III. § 13.

et la question qui nous occupe présente une occasion d’appliquer cette théorie.

Pour cela, représentons, pour abréger l’écriture, les deux systèmes d’opérations

— 4-2' A 1. I k±-Vg a

dz Ndz'* dzj’

By^' ‘ 8z Bz' NBz^

respectivement par les symboles Vi et V2Î moyen desquels les équations (3) prendront la forme

Vi = O, V2 = 0.

La condition nécessaire pour que ces deux équations puissent admettre une intégrale commune consiste, comme on sait, en ce que le résultat de l’opération Vi? appliquée à la fonction V2’^5 soit égal au résultat de l’opération ^2? appliquée à la fonction c’està-dire, que l’on ait

Vi V2 = V2 Viu.

Or, en effectuant les opérations indiquées, on trouve

du dz

îtia

Vi Vî « - Vï Vi « -

+(v.£dÿë+v.|)l5-(v.f+v.î*^)|-

D’après cela, il est clair que cette condition nécessaire peut être remplie de deux manières: lorsque, dans l’expression précédente,

3zù Bîi 3zù

les coefficients de ^ se réduisent chacun à zéro; 2^ lors-

que, ces coefficients étant différents de zéro, aux deux équations «4 = 0, V2 “ = ^ous en adjoindrons une troisième

VlV2^ 'V'2'V'l^ = 0,

laquelle, évidemment, est algébriquement distincte des deux premières ;

, 1 ^ . du du

car elle ne contient pas les derivees

94. Chacun de ces deux cas doit être examiné à part. Occupons-nous d’abord du premier, où, par hypothèse, ont lieu les égalités

g+yg A'+yg

/doi

«, V.Sÿ?+v.|-o,

Ch. m. § 13.

ou

« = Vif+v4 = 0, Vif+V.|=0 (*);

les équations simultanées considérées prennent alors la forme

hu du .

II est aisé de voir que, dans le cas actuel, les équations V2^ = O ont trois intégrales communes, de la forme

= const., ^^2 = const, % = const,

et en même temps de montrer comment se trouvent ces intégrales.

Pour cela, soient v, les intégrales distinctes de l’équation

Vi^ = O, lesquelles doivent être au nombre de trois. Déterminons, de plus, une fonction F {y^ de ces trois intégrales et de

la variable qui satisfasse à la seconde des équations considérées V2F =0. Il vient, en la développant.

Ici on a évidemment V22/ I5 h ^st facile de voir que les quantités V2^5 V2^i5 V2^2 s’expriment au moyen de v, ^1,^2 seulement. En effet, on a identiquement, pour une fonction quelconque w,

donc , en faisant successivement u = v, on obtient les identités.

Vl (V2^) = V2(Vi^) = V2O = 0, Vl(V2^l) ~ ^2 (Vl^l) ~ V2^ ~ ^5 Vl (V2'^2) ~ V2(Vl'^2) V2^ ^5

qui démontrent que V2^5 V2%5 V2^2 sont des intégrales de l’équation = 0. Mais V2 représentent toutes les intégrales

distinctes de l’équation Vi^==0; par suite, V2^5 V2^iî V2^2 doivent s’exprimer au moyen de i?, ^ et, si ces expressions sont

(*) Ces conditions ont été établies par B 00 le. Voir les P h il 0 s o p h i ca 1 Transactions, 1862, T. CLII, Part I, p. 452.

Ch. m. § 13.

on aura alors l’équation

ÔF 8F , aF , aF

dy + 8v 8»/*+ dv/^ “

Pour cette équation on trouve, par les méthodes connues, trois intégrales distinctes, de la forme

const., U2 = ~ const,

— Fs (2/5 «^5 «^15 «^2) = const.,

lesquelles doivent évidemment être des intégrales communes des équations

y'gît =r 0.