Dans l’exposition précédente de la méthode d’intégration
simultanée des équations \/^u = 0, V2^ — 0? échanger
entre eux les rôles de ces deux équations; mais, dans tous les cas, il faut commencer par déterminer trois intégrales distinctes de l’une d’elles. Pour cela, concurremment avec les méthodes ordinaires, on peut encore, faire usage du procédé que Poisson a découvert pour les équations de la Dynamique; car, en vertu de l’identité
Vi (\72^) — ^72
la substitution d’une intégrale de l’une quelconque des équations = 0, V2 ^ = 0 dans le premier membre de l’autre doit donner une intégrale de la première. Le succès de cette méthode tient finalement à la condition que cette substitution donne des intégrales distinctes de celles que l’on substitue.
96. Indiquons maintenant comment, des trois intégrales obtenues ci - dessus
où a, è, c désignent des constantes arbitraires, on peut tirer d’abord une intégrale particulière, puis l’intégrale générale de l’équation (1).
Des équations (4) on tire, pour 0, z\ des expressions de la forme
(5) » == (x){x,7/,a,b,c), = a)i(a;,2/,a,è,c), 5;, = cog .
De la méthode même de calcul des intégrales (4) des équations (3) on peut déjà conclure que les expressions (5) de z\ z, doivent satisfaire aux équations (2). En résolvant celles-ci par rapport à €lz^ dz\ dzj, et introduisant la condition ér = 0, on les ramène à la forme *
Ch. m. § 13.
dz — dx-\- Z fdy^
d^' =. — -j^dy.
dz,
K H dx — ~-rdy.
Mais cette conclusion est tellement importante, que nous allons chercher à en donner une démonstration directe. Remarquons, pour cela, qu’une fonction entièrement arbitraire de %, que nous
désignerons par O (^^l, U2, u^), doit satisfaire aux équations (3), lorsqu’on la substitue à u, puisque l’on a
Ndz' N dz,
V2^ ~ +^y + AT
et que les quantités
Vl'^25
sont égales à zéro. En prenant la différentielle de la fonction 0, et
substituant dans son expression les valeurs de -k- et de tirées des
ox oy
égalités Vi ^ = O, V2 ^ — C, nous aurons l’égalité
d. 0{u^,U2,u^) — -^{dz—z'dx—z,dy)-\~-^{dz'-]--dx ~ -dy)
dans laquelle
30 3uj ,30 3u2 I c'wa 3u^ 3z ' 3u2 3z '
3uq 3z
ao
3z, 3^l^^ 3zj 3u2 3z, ' a^03 a^^
30 a% 30 3u2 I 30 3u^ 3u^^ 3z' ' az02 3z' ' 3'u^ 3z'
Si maintenant on remplace z, z\ z,^ par leurs valeurs (5), le premier membre de l’égalité (7) se réduira à zéro, puisque 24^, 112^
Ch. IlL § 13.
0 %) se changeront respectivement en a, Z>, c, O (a, b, c);
par conséquent, le second membre de l’égalité (7) devra aussi être égal à zéro. Mais il est facile de remarquer que les dérivées B0 S0
-^9 ne peuvent être identiquement nulles, et il suffit de
' dO
le faire voir en détail pour une de ces dérivées, par exemple, pour
En effet, les trois dérivées ^ ne peuvent être toutes
nulles, puisque, si elles l’étaient, on ne pourrait des équations (4)
0CD d0 d0
tirer les valeurs (5)*, leurs multiplicateurs
du^ du2^
par la sub-
stitution des valeurs (5) de 0, 0', 0^, se changent en des constantes arbitraires. Ainsi le second membre de l’égalité (7) ne devra se réduire à zéro qu’en vertu de ce que les équations (6) se changent en identités par la substitution des valeurs de 0, 0', 0^.
