D’après cela, on a l’égalité
cl(o = œ^dx-\- C02d^^
en conséquence de laquelle les équations (5) 'peuvent être rem^ placées par les suivantes.
co{x,y,a,b,c), 0' =
dcû
En substituant ces valeurs de 0, 0', 0^ dans les deux dernières équations (6), on a les égalités
Sco K H
dx jv"" ' jy qui conduisent encore aux trois égalités suivantes
JV
dx^
\ Oi/
Il est maintenant facile de démontrer que l’intégrale 0 = 0) {x,y,a,b,c). satisfaisant aux trois équations précédentes, doit nécessairement satisfaire aussi à l’équation (1). Pour cela, il suffit de remarquer que, en vertu delà condition G = K^ — HL-\-MN = 0, l’équation (1) peut s’écrire ainsi.
Ch. UL § 13.
98. Ainsi nous avons déjà une intégrale particulière de l’équation (1), renfermant trois constantes arbitraires a, 5, c-, cherchons à en tirer l’intégrale générale de la même équation, renfermant deux fonctions arbitraires.
Pour cela, remarquons préalablement que les arguments a et ^ des deux fonctions arbitraires de l’intégrale générale cherchée doivent être égaux; car on a en général, pour l’équation (1),
da
^ cæ{a dy
dx 8y K—Nz'—VG .
or, dans le cas actuel, G = 0] par conséquent, on a
da dp dadp
f\ rj ■ r\ f\ — Cl
ex cy oy ox ’
99. Démontrons maintenant la proposition suivante. Soient cp et 'ip des fonctions arbitraires ; substituons «, p(ci), ijj (a) à la place de a, 5, c dans l’intégrale 2=- co (x, «/, et, d, c), et déterminons la fonction a par la condition que la dérivée de la fonction co par rapport à a soit égale à zéro. Les deux équations ainsi obtenues
0 CO
(9) a = M [æ,ÿ, a, (p (a), ip (a)], = O
représenteront l’intégrale générale de l’équation (1).
En effet, si l’on différentie les équations (9) par rapport à x et à il vient
02û) dcc
dadx
dcc^ dx*
dco
02co __
02(0 da
dady
da^ dy
En différentiant encore une fois, par rapport k x et k y^ les valeurs de z' et de on aura
,, 6^03 d^cù dcc d‘‘^co d^co l'da\^
dx^ dxda dx dx^ dcc^ ’
^ d^cû d^co dcc d^cû d^co da d^co ” ^ dxdy^dxdady dyda dx dxdy
d^co d^co dcc d^u) d^co /dcc\^ dy‘^~^dydady dy‘‘^ dcc'^^ \^J//
d^cj dcc dcc da^ dx dij *
Ch. m. § 13.
Pour s’assurer de la vérité du théorème énoncé, il suffit de démontrer que, par la substitution des valeurs précédentes de s, z', z\ z\^ on satisfait à l’équation (1). Posons, pour abréger,
0^2 ^ 5 dxdy
d^co
hxdy da
du
et désignons le premier membre de l’équation (1) par F (z", z z^^). Le résultat de cette substitution prend, d’après le théorème de Taylor, la forme suivante,
F ((o"-\-qh\ u>',-\-qld, (X>„-\-qP)
eF . 0F .. . 0F
/ 0F ■ 0F 0F \ = F (0)", m'„ (o„)+ {^, h?-\. hl + py
Or on a
F((«",a)'„«J = {Nm"-\-L) {Nco,,-\-H)-{Nço\- K)\
^ JSf{H+Nco,;), = 2N{K-Nço\y
jV(L + iVa)"):
par conséquent, le premier et le second terme du développement précédent se réduisent à zéro, en vertu des équations (8), qui doivent avoir lieu indépendamment des valeurs de a, 5, c.
Le multiplicateur de s’évanouit aussi; car toutes les dérivées du second ordre de F sont égales à zéro, à l’exception de
= — 2iV, et de
ou.
deu
qui donnent des termes égaux, mais de signes contraires.
Le théorème étant ainsi démontré, nous avons maintenant une méthode tout à fait régulière pour l’intégration de l’équation (1), sous les conditions
Vlf+V2'^=0, V,f+V2f=0.
100. Il reste à éclaircir cette exposition théorique par un exemple particulier. Prenons, pour cela, l’équation*
équi
et8(
Ch. IIL § 13.
Vaaj+a^ + aa:V \ “^ a^yV - ^
ou, avec d’autres notations,
Ici les conditions (10) sont évidemment satisfaites. Formons les deux équations simultanées
du
du
dît . du
dz' ^ dz,
du du du du
“ êÿ + & + s? ~ 8^ =
et trouvons toutes les intégrales distinctes de la seconde de ces équations. En prenant, pour cela, le système d’équations
dz
dy — — = dz — dz^^ on trouve les trois intégrales distinctes
Cherchons maintenant une fonction F (x, v, V2) , qui satisfasse à l’équation Vi F = 0. En développant celle-ci, on trouve
aF ^ . aF ^ , dF ^ , dF ^
Vi^i+g^ Vi«2 =
Or on a
Vl« = 1, S/j^V = l — V, Vl^l — «^5 Vl«^2
Donc l’équation précédente prend la forme
^ . aF
Ses trois intégrales distinctes s’obtiendront par l’intégration des équations
dx
dv
dvt
dv2
et seront ainsi de la forme
(1 — ■y)<3® = «, — v2 — h, Vi-\-v — x—c,
«, b, c désignant des constantes arbitraires. En substituant les valeurs de ^2, il vient
Ch. m. § 13.
et l’on en tire
c-f-ic-
Cette dernière équation représente une intégrale particulière de l’équation proposée. Elle donne, en effet, par différentiation,
ae'
Bz
Fy = '^+*-2'’
= ae
dxdy
On voit par là d’abord que les valeurs trouvées pour z et pour 8z ... 8z
sont identiques, ainsi que celles de z, et de g-; en second lieu.
que, par la substitution des valeurs des dérivées du premier et du second ordre de on réduit à zéro les expressions
et par suite on satisfait à l’équation proposée. Il s’ensuit de là, en vertu de ce qui a été démontré plus haut, que si, dans l’intégrale particulière précédente, deux des constantes à, c sont considérées comme des fonctions arbitraires de la troisième, et qu’on égale à zéro la dérivée partielle de « par rapport à cette troisième constante, les deux équations ainsi obtenues formeront l’intégrale générale de réquation proposée. En faisant, par exemple,
c = or, b — cp (or), a = iff (or),
nous représenterons l’intégrale générale sous la forme des deux équations
(ci-j-x—yy
( O = qo' (o:)-)-'i|^^ (or)e~* — or — X’^y-\-l.
Il est aisé, du reste, de vérifier le résultat précédent, en faisant voir que l’on obtient l’équation proposée en éliminant or, (p{ci) et xl)(a) entre les deux équations précédentes. De la seconde de ces équations on tire
Ch. m. § 13.
da {a.)e-^ da 1
dcc (p" (a) -j-yj" ((x)e~^ — g)"((x)-j- ifj" (a) e~^ — l’
d^où
da
dy
En différentiant la première équation de l’intégrale, il vient
, dz
d^z da d'^is
dx dxdy
d'^z da
dy^ ^ ' dy^
d’où l’on tire
da d^z dx dxdy
da «d^z
dy ~ 0^2 +1»
dz dz d^z
0a; ' dy 0a:2
dxdÿ
D’après cela, la troisième des équations précédentes prend la forme dxdi/ dx~^dy^dx^^
di ^ 02/ ' ,
07/2 ' dxdy
ou
\0a;07/ / \0a: ' 0^ dx^J \dy^ i 1 j ’
et cette dernière équation est identique avec la proposée.
