Remarque I. — Les conditions
V,§-hV,§ = 0, v,§ + V^§=0,
qui, jointes à la condition G = 0, assurent le succès de l’intégration de l’équation (1) d’après la méthode précédente, peuvent s’exprimer très-simplement. Pour cela, remarquons que, pour G = 0, l’application de la méthode précédente est encore assujettie à la condition de possibilité d’une seule et meme intégrale particulière pour les trois équations
Ch. m. § 13.
ce qui exige, relativement aux coefficients L, N, deux condi-
tions, qui doivent nécessairement être équivalentes aux précédentes. En effet, ces équations donnent
Nous indiquons ici par un point (.), placé après le signe Ô, qu’il faut différentier par rapport à a? et à non-seulement en tant que ces variables entrent explicitement, mais encore en tant qu’elles entrent par le moyen de 0, 0', z,. En effectuant ces opérations, et remplaçant z\ 0'^, 0^^ par leurs valeurs, il vient
dx dx ' dz N dz' ' N dzj N
et de même
dy ^ N dy ^ N dx N
Par conséquent, les conditions (10) peuvent se représenter plus simplement comme il suit.
dy
dx
102. Remarque JL — Ha été démontré ci-dessus que l’équation (1), sous les conditions (10), a une intégrale générale de la forme
0 = (o[x,y, a, cp («), (a)], = 0.
La proposition réciproque est également vraie, savoir, qu’à toute intégrale de la forme précédente correspond une équation différentielle de la forme (1), satisfaisant aux conditions (10). En effet, en différentiant la première des équations précédentes, et ayant égard à la seconde, il vient
Ch. m. § 13.
aco a.wao! a»
8x aa a^c 8x*
fl —
fl --
'^éi
fl —
Ici il convient d’introduire la transformation des expressions précédentes de s", que nous avons déjà employée plus haut,
mais sans explication. En ayant égard à la signification du point placé après le signe d, on a
d.co
dct
8(0 8a> , , ^ , fita , , ^
8'tjj
8ci
8a8x 8g)8x ^ ' 8’iIj8x ^
et, en différentiant par rapport à a: la seconde équation de l’intégrale, il vient
'8a a.^co a^ ^
par conséquent,
On trouve de même
Nous aurons, d’après cela,
a^.cü /c
la\^
las
a^^ va
Ch. IIL § 13.
da da
En éliminant entre ces équations ^ trouve l’équation
Enfin, à l’aide des équations
dy
nous pourrons exprimer o;, (p(a), 'ip(ci) au moyen de x, y, s, et substituer ces valeurs dans les fonctions
0£c^’ 02/^* dxdy*
après quoi ces dernières prendront une forme que nous pourrons représenter par
et l’équation précédente s’écrira ainsi
c^est-à-dire que nous aurons une équation de la forme (1). On voit qu’elle satisfait à la condition (10) par la raison que, en vertu de la
iV’
5 ceux-ci doivent véri-
provenance des coefficients fier les égalités
dy ^
dx
dx
dy
lesquelles, comme on l’a démontré plus haut, se ramènent aux suivantes.
Vl 7V7“f“ V2 AT
L’égalité G = 0 résulte de la forme même de l’équation.
Au point de vue géométrique, lorsque æ, y, z sont les coordonnées des points d’une surface, les deux équations de l’intégrale générale
