B CO

Ch. III. § 13. 97

représentent une surface enveloppant une série • de surfaces données par l’équation intégrale particulière

lorsqu’on y fait varier d’une manière continue les trois paramètres a, è, c, en les liant par deux relations arbitraires

Par suite, l’équation (1), sous les conditions (10), représente l’équation dilîérentielle commune à ces surfaces enveloppantes.

103. Après avoir montré de quelle manière on intègre l’équation (1) du §. précédent, lorsque les trois quantités

H Vg' l

Vi^+V2 V2;^+Vi

kT-\^g

2yG

se réduisent à zéro, passons maintenant à la considération des autres cas qui peuvent se présenter.

Si P, Q, E sont différents de zéro, alors les deux équations

du du

eï'

du du

P+Vg du N

Vg du H du

dz N dzj ^

ne peuvent admettre une intégrale commune que dans le cas où a lieu en même temps la troisième équation

r— . ^ ^ du , ^dii, ^ du

En admettant l’existence de cette dernière, examinons à quelles conditions et en quel nombre il peut y avoir des intégrales satisfaisant à la fois aux trois équations précédentes. Ahn de résoudre ces deux questions aussi simplement que possible, ramenons au nombre minimum les dérivées partielles dans chaque équation. Pour cela, entre les deux premières équations éliminons, à l’aide de la troisième, 1 w • ' du du du

une des derivees Si I on suppose R dihcrent de zéro.

Ch. ni. § 14.

et qu’on élimine ainsi on ramènera les trois équations consi- 1 dérées à la forme

du . du , du

où les nouveaux symboles introduits sont déterminés

par les formules

V' = Vl-^V3, V" = ^2-

les expressions des coefficients A, B, Fm moyen des coefficients des équations précédentes étant faciles à obtenir. Les conditions nécessaires pour que, aux trois équations ^'«^ = 0, ^"u = 0,

appartienne une intégrale commune consistent en ce que les résultats des opérations

soient respectivement égaux aux suivants,

Or chacune des expressions

est de la forme

du , du

c’est-à-dire qu’elle est linéaire et homogène par rapport seulement du du

aux deux dérivées

dz'^ dz/

Par suite, ces expressions peuvent s’an-

nuler de deux manières:

1®. Ou parce que les coefficients de ^ et de séparément dans les trois expressions;

s’annulent

dzô du

2^. Ou, si les coefficients de

sati

OBJ

les trois expressions, parce que l’on égale à zéro des expressions qui

Ch. m. s 14.

ne s’annulent par d’elles-mêmes, et qu’ainsi aux trois équations données on en joint de nouvelles, algébriquement différentes des équations

du du du

données, puisqu’elles ne contiennent pas les dérivées gj*

104. Considérons à part chacun de ces deux cas, et occuponsnous d’abord du premier, dans lequel on a, par hypothèse, les trois identités

Il est aisé de faire voir que, dans ce cas, les trois équations simultanées

doivent avoir deux intégrales communes.

Pour cela, en intégrant complètement l’une d’entre elles, par exemple la première

du , du , ^du ^

^ » = g^ + ^g^7+iîg^ - O,

nons trouverons seulement deux intégrales distinctes de cette équation, ü = const., == const.

Ensuite, la recherche de l’intégrale

F(2/, V, Vj) = const.,

satisfaisant aux deux premières équations, conduit à l’équation

dv^

où l’on a ^"^==1, et où les quantités s’expriment au

moyen des seules variables v, puisque, en vertu des identités

et sont des intégrales des l’équation ^'u = 0. En

posant donc

^f(v, Vi), =/i (v, t’i),

on aura, pour déterminer la fonctions F, l’équation

% + eïT, (*’>

dont l’intégration complète fournit les deux intégrales distinces

Ch. m. § 14.

w = F(^, V, v^) = const., — Fi(^, -y, — const

Enfin, la recherche de l’intégrale

0 (z, W, Wj) = const.,

satisfaisant à la fois aux trois équations données, conduit à l’équation

dQ dQ dO

dans laquelle ^"'z = 1, et les quantités ^'"w, s’expriment

au moyen de w et de puisque, en vertu des identités

et sont des intégrales de l’équation ^"’u = 0. Donc,

en posant

— (p {w, w^), ^'"wi = qp^ (w, M?i),

on aura, pour déterminer la fonction Q, l’équation dQ . d0 . . . 00

dont l’intégration complète fournit les deux intégrales distinctes (zj ^y, Wj) — const., U2 = 02 ^5 ^i) ~ const.,

satisfaisant aux trois équations simultanées

Il est aisé de voir que ces deux intégrales satisfont aussi aux trois équations

puisque l’on a

et que les seconds membres de ces dernières égalités s’annulent, lorsqu’on y remplace u par % ou par «ig-

105. Ainsi, pour déterminer les deux intégrales qui satisfont aux trois équations simultanées = 0, 0, ^'"21 = 0, il

faut commencer par intégrer complètement l’une des trois équations, c’est-à-dire par déterminer deux intégrales distinctes de cette équation. Mais on peut quelquefois se borner à la détermination d’une de ces deux intégrales-, car la substitution d’une intégrale de l’une des trois équations = 0, u = 0, n = 0 dans les

Ch. UI. § 14. 101

premiers membres des deux autres doit donner des intégrales de la première. En effet, si = const. est une intégrale de l’équation les identités

font voir que = const. et = const. sont aussi des intégrales de l’équation ^'u = 0, et il suffit que l’une d’elles soit distincte de l’intégrale v = const., pour que cette méthode puisse simplifier la solution du problème de l’intégration simultanée des équations = 0, \J"u = 0,

106. D’après ce que nous avons vu, pour que l’on puisse déterminer par la méthode précédente deux intégrales satisfaisant aux trois équations simultanées

trois conditions sont nécessaires, lesquelles sont exprimées par les égalités

qui doivent avoir lieu pour toute fonction u. Mais il est facile de voir que deux de ces conditions sont suffisantes, la troisième étant une conséquence des deux autres, en vertu d’une relation trèssimple qui existe entre les premiers membres de ces équations de condition. Cette relation est exprimée par l’égalité

qui a lieu pour toute fonction u.

Comme cette égalité ne dépend que des propriétés des symboles est complètement indépendante de la valeur de la fonction représentée par la lettre on pourra faire abstraction de celle-ci, et alors le théorème à démontrer s’exprimera symboliquement de la manière suivante:

Pour les démontrer, rappelons-nous que \7", s’expriment au moyen de ^2? ^3? comme il suit,

= V-. - 7; Va, = 7 ^3,

Ch. m. § 14.

et que, de plus,

Vs— Vl^2 ^2^1-

En vertu de ces définitions, on obtient facilement les égalités symboliques suivantes (qu’il est d’ailleurs facile de changer en égalités ordinaires, en rétablissant sous les signes d’opérations la fonction qu’on a omise),

- i (VlV3-^3^l)+^{^2^3-^3^2),

= I V,-^3Vl)+[(y4)-l(^3i)+ i (^sg] ^3,

= |(^3^3-V8V3)+ [(^3^-1 (Vsÿ+I (V3ÿ]V3.

Ajoutant ces trois égalités, après avoir multiplié la seconde par la troisième par — z\ et effectué des réductions évidentes, il vient

ig— \7ig,+\72.s’

±2Vg

donc

et par suite

ce qu’il fallait démontrer.

107. Passons maintenant aux autres cas qui peuvent se présenter dans l’intégration des équations

Ch. m. § 14.

Ces cas sont au nombre de deux:

(a) Lorsqu’aucune des expressions

ne se réduit identiquement à zéro ;

(b) Lorsqu’une de ces expressions se réduit identiquement à zéro.

Comme, dans chacun de ces cas, ces trois expressions doivent être égales à zéro pour que les trois équations = 0, = O,

^"'u = 0 puissent admettre une intégrale commune, il suffira alors dans le cas (a), en vertu du théorème démontré, d’égaler deux d’entre elles à zéro. Ainsi aux trois équations proposées on joindra encore ces deux-ci,

du du

Si ces dernières sont algébriquement distinctes, on aura, en

même temps que les équations proposées, cinq équations linéaires

, du du du du du et homogènes par rapport aux cinq derivees

De ces équations on ne peut tirer qu’une seule conclusion, savoir, que l’on a

^ du n A

àÿ ^ aï ^ a? ^ aï; ^

eæ

ce qui montre que, aux trois équations proposées, et par suite aussi aux équations

^iU = 0, ^2^ = 0, = 0,

on ne peut satisfaire que par la substitution d’une quantité constante au lieu de u.

Si les équations

du dit

ne sont pas algébriquement distinctes, il suffira de joindre l’une d’entre elles aux équations proposées. Le reste de l’analyse sera identique à ce que nous allons maintenant expliquer pour le cas (b).