Dans ce dernier cas, une des trois expressions
Ch. IlL § 14.
se réduit, par hypothèse, identiquement à zéro. Par conséquent, en vertu du théorème démontré (art. 106), il suffira d’égaler à zéro une des deux expressions qui ne s’évanouissent pas. On obtient ainsi un système d’équations de la forme
du , .du , du
du . du . dih
dz,
ft, du . ^ du . ^du
du du
lesquelles, par l’élimination de l’une des dérivées ^ entre les
trois premières au moyen de la quatrième, se changent dans les suivantes,
du du
du du
du . du
du du
OÙ l’on a posé
a, è, c, d s’exprimant d’une manière connue au moyen des coefficients des équations précédentes.
Le dernier système d’équations n’admet une intégrale commune que dans les cas seulement où l’on a identiquement les égalités
ù^iù^iu = lSk/\iu,
pour toute fonction u, et pour toutes les valeurs diftérentes de i et de /c, prises dans la suite des nombres 1, 2, 3, 4.
Ch. m. § 14.
Dans le cas contraire, évidemment, il n’est possible de satisfaire simultanément ni aux quatre équations considérées, ni aux équations d’où elles sont déduites. Or toutes ces équations ont pour origine commune les deux équations primitives \7iî^ = 0, donc
celles-ci, dans ce cas, n’admettent pas non plus d’intégrale commune.
Si la condition /^i/C\jcu = /\ic/\iu est satisfaite, comme on l’a exigé ci-dessus, la méthode pour la détermination d’une intégrale unique, commune aux quatre équations
sera encore absolument la même que celle qui a été exposée en détail à propos de l’intégration des systèmes précédents. Il nous suffira donc d’en indiquer brièvement l’application.
109. Commençons par déterminer l’intégrale de l’une des équations précédentes, de la première, par exemple ; on l’obtient au moyen de l’équation
adx — dz^ — 0,
entre les deux variables x et «/, soit « = const. cette intégrale. En cherchant l’intégrale
w — Y {y^v) = const.,
qui satisfait à la première équation et à la seconde, on arrive à une équation de la forme
. dw ^ hw , .
f{v) étant une fonction connue. Par suite, l’intégrale cherchée s’obtient au moyen d’une quadrature.
= const.
Pour trouver l’intégrale
t = 0{z^w) = const..
satisfaisant aux trois premières équations, on est conduit à une équation de la forme
dt dt
g){w) étant une fonction connue, et l’intégrale cherchée s’exprime au moyen d’une quadrature
Ch. m. § 14.
dw
const.
Enfin, la détermination de Tintégrale
u^ = == const.,
satisfaisant à la fois aux quatre équations, conduit à l’équation
. du. , du.
'ip(t) étant une fonction connue; et l’intégrale cherchée s’exprime encore au moyen d’une quadrature,
Cette dernière intégrale satisfait également aux deux équations simultanées
puisque l’on a et
et que les valeurs de Ai^? A2^5 As^î Aé^ doivent se réduire à zéro par la substitution de à la place de u.
110. Dans les deux paragraphes précédents, nous avons exposé une méthode pour déterminer toutes les intégrales possibles des deux systèmes incomplets d’équations
Hdy + m^, — (K± y G) = 0,
Hdz'+K::çVG)ds,+Mdx = 0, dz —z^dx — Z, dy — 0,
dont l’un correspond aux signes supérieurs, l’autre aux signes inférieurs du radical ‘^G.
Dans l’exposition de cette méthode, on a ou en vue moins les formules générales que les procédés généraux pour une telle recherche. En conséquence, on n’a pas mentionné les cas où, par exemple, les
Al
va;
liei
mil
l’iii
Ch. m. § 15.
coefficients iV, i?, etc., qui entrent en dénominateurs dans nos équations, se réduisent à zéro; en effet, les variables x, y, z, z\ z^ jouent dans ces équations, des rôles identiques, et l’on peut toujours prendre l’une d’elles à la place de l’autre, pour éviter les difficultés en question.
111. Après nous être assurés, de cette manière, que le nombre des intégrales de chacun des deux systèmes d’équations ci-dessus peut varier de trois à zéro inclusivement, nous allons maintenant supposer que différentes combinaisons de ces nombres d’intégrales sont possibles en même temps pour l’un et l’autre système d’équations, et nous allons chercher comment, dans chaque cas, on peut obtenir l’intégrale générale finie de l’équation
(1) H^*~^^Kz\-\-Lz„^M^N{z''z^—z^;^) = 0.
Le plus simple de ces cas, celui où les deux systèmes d’équations ont chacun trois intégrales, et où, en vertu de la condition (7=0, leur différence s’évanouit, a été déjà étudié complètement dans le §. précédent; nous allons passer tout à l’heure à l’examen des autres cas. Mais il est maintenant à propos de compléter la remarque faite plus haut, que, dans les deux systèmes d’équations considérés, les variables a?, jouent des rôles identiques. Pour cela,
nous allons démontrer que, dans l’équation (1) elle-même, on peut, au lieu des variables indépendantes x et y, introduire successivement s' et z^^ X et y et s', et choisir chaque fois la variable dépendante de manière que le type général de l’équation transformée ne soit pas altéré .
112. La première de ces transformations, indiqueé par Legendre (*), peut se présenter comme il suit. Supposons que les expressions de z\ Z, en fonction de œ et de ^ soient
les seconds membres de ces équations doivent satisfaire aux conditions
Au moyen des équations s' = qp, on peut introduLce comme
variables indépendantes z' et z^ au lieu de x et de y. De plus, au lieu de la variable dépendante 2, introduisons la variable déterminée par l’équation
(*) Histoire de l’Académie des Sciences, 1787. Mémoire sur l’intégration de quelques équations aux différences partielles, par Le Gendre, p. 314.
Ch. IIL § 15.
w — xz'-\-yz^ — s.
En différentiant w successivement par rapport aux variables indépen-
il vient
Bw / ,
Bz\
1 Bx
Bx)
Bw (
Bz^
1 Bx
BxJ
En vertu des conditions ^ ^ coefficients de
dÿ Bÿ
^ dans les seconds membres de ces équations s’annulent, et l’on a simplement
Bw dw
De plus, en différentiant par rapport à z' et à les équations z' = q)^ Zj = 'ijj, on trouve
B(pBx BcpBy
ri-T
B(pBx . Bq) By
BipBx .
Bx Bzj
Mais, en ayant égard aux relations
d'w dw dcp
Bg) Bip
By Bx
on peut écrire les équations précédentes sous la forme
Bx ^ By Bx ^
Bip
By
On tire de là B^w
â/2 - z"z,,^z'y Bz'Bz,
' Bz'Bz, ^ Bz/
^ XBz'BzJ Z, ^--z' y
Par conséquent, si dans les coefficients de l’équation (1) on remplace
Ch. m. § 15.
respectivement par
dw dw dw dw
dz'
dz^
et qu’on la divise par z" z^, — z' alors, en vertu des égalités précédentes, elle prendra la forme
dz'dz.
dz'^ ’ dz/[‘ \8z'dzJ
Ayant obtenu, par l’intégration de cette équation, la valeur de w en fonction de z et de z^^ on pourra tirer des équations
dw
les expressions de z', z^, z au moyen des variables æ et y.
113. Ampère(*) a démontré la possibilité de deux autres transformations, analogues à celle de Legendre. Pour la première transformation, on peut supposer que, au moyen des trois équations
on ait exprimé y en fonction de x et de z^. Introduisons, de plus, au lieu de la variable dépendante «?, déterminée par l’équation
En différentiant v successivement par rapport aux variables indépendantes X et z,, il vient
dv
>jl(^ h — (h W
' W ^ydx* dzj \0?/ ^^jdz,
df d d
En vertu de la condition ô- = iP, les coefficients de et de »
oy ox czj
dans les seconds membres des équations précédentes , s’annulent,
et ü vient
dv , dv
dx
dz,
De plus, en différentiant par rapport k x et h Zj les équations z' = <p, Zj == ijj, nous aurons
dz' dcp , d(p dy dx dx dy dx’
0 — ^ dx dy dx’
^ __^d y ~ ^y dz/
(*) Journal de l’École Polytechnique, XVIUo Cahier, p. 90.
ou
Ch. m. § 15.
On tire de là
dz/^
dxdz, z^/' dx^
et
dx^*8z^^ \8x8zJ z^/
Par conséquent, si Ton remplace, dans les coefficients de l’équation (1),
respectivement par
Fz/
âï’
et que l’on divise par z,,-^ alors, en vertu des égalités précédentes l’équation (1) prendra la forme
8x8zj
^-1-7 ffp
8x^' 8zj^ \8x8zJ
Ayant obtenu, par l’intégration de cette équation, la valeur de V en fonction de x et de z,, on pourra déduire des équations
les expressions de z^ et de is au moyen des variables x et
ib
114. Enfin, la troisième transformation est tout à fait semblable à la précédente. Au moyen de la seconde des équations s = /, z' = ç), z^ = Tfj, on peut exprimer x en fonction de 3/ et de z'. Si, de plus, on introduit, à la place de ;3, la variable dépendante
nous aurons alors, comme dans la transformation précédente.
Sy
dy8z'
Par conséquent, si, dans les coefficients de l’équation (1), on remplace
Ch. IlL § 15.
respectivement par
Oit ^ du
Bu
et que Ton divise par alors, en vertu des égalités que Ton vient d’établir, elle prendra la forme
a^it By Bz
/ B^u yi
{dySz') J
Après avoir obtenu, par l’intégration de cette équation, le valeur de U en fonction de y et de z' , on pourra tirer des équations
Bu
les expressions de z' et de au moyen des variables x et y.
115. Il est facile de voir que les expressions formées, au moyen des coefficients des équations transformées, d’après la même loi qui a servi à former l’expression G = — HL-\-MN relative à l’équation (1), auront des valeurs identiques à cette dernière.
Legendre et Ampère, apres avoir découvert la possibilité de ces transformations générales de l’équation (1), en ont indiqué en même temps des applications très-importantes. On trouve encore un bel exemple de la transformation de Legendre dans les recherches de Fucbs sur l’intégration de l’équation
dont la solution a été complétée et simplifiée par Hoppe(*). Mais nous ne nous arrêterons pas ici sur ces exemples particuliers, parce que, à la fin de ce Mémoire (Chapitre IV), on démontrera la possibilité d’un nombre illimité de méthodes pour trouver des transformations de l’équation (1), et non- seulement des transformations analogues à celles de Legendre et d’Ampère, par suite desquelles l’équation transformée conserve le type primitif, mais aussi des transformations par suite desquelles, à la place de l’équation (1), on obtient une transformée plus simple, savoir, une transformée de forme linéaire par rapport aux dérivées partielles du second ordre. En même temps, nous ferons des applications de ces sortes do transformations.
(*) Crelle’s Journal fûr die Mathematik, 1861, Bd. LVIII, S. 80 u. 369.
Ch. m. § 16.
116. Revenons maintenant à la considération des méthodes d’intégration de l’équation
(1) Hz’' = 0,
dans les cas où chacun des systèmes
!Hdy + Ndz^ — {K-\--\/G) dx = 0,
Hdz' -]/G)dz, + Mdx = 0,
dz — z' dx — Z J dy — 0,
i' my-\-Ndz, — (K—-VG) dx = 0,
Hdz' + {K-{-'VG)dz, — Mdx = 0,
dz — z' dx — Z, dy — 0
admet moins de trois intégrales distinctes. Supposons que nous connaissions deux intégrales distinctes
= const., = const.
du système (A). En vertu de ce qui a été démontré plus haut, les fonctions et Wg, substituées à la place de satisfont aux deux équations
dans lesquelles il faut prendre G avec le signe supérieur. Une fonction arbitraire de et de y satisfait pareillement;
donc l’équation
sera une intégrale du système (A), et par suite devra être une intégrale de la proposée (1), cette intégrale, renfermant des dérivées du premier ordre et une fonction arbitraire, sera une intégrale générale du premier ordre.
De même, en prenant deux intégrales du système (B),
= const., = const.,
on obtiendra une autre intégrale générale de premier ordre
117. La méthode proposée par Monge pour trouver l’intégrale primitive de l’équation (1) repose sur la détermination préalable
Ch. IIL § 16.
d’une intégrale générale du premier ordre de cette équation, laquelle étant connue, il ne reste plus, d’après cette méthode, qu’à l’intégrer comme une équation aux dérivées partielles du premier ordre. Si l’on obtient une intégrale générale, il entrera dans son expression une fonction arbitraire, distincte de celle qui était déjà renfermée dans l’équation à intégrer; par conséquent, cette intégrale, renfermant deux fonctions arbitraires, devra être l’intégrale primitive générale de l’équation (1). Si l’on obtient une intégrale complète, ü entrera dans son expression deux constantes arbitraires. En supposant l’une d’elles fonction arbitraire de l’autre, et joignant à l’équation intégrale sa dérivée prise en diiférentiant par rapport à la constante arbitraire restante, on aura l’intégrale primitive générale de l’équation (1) et la condition pour la détermination de l’argument de l’ime des deux fonctions arbitraires qui y entrent.
Si l’on peut parvenir à deux intégrales générales du premier ordre (2) et (3), alors, en éliminant entre elles une des dérivées du premier ordre z\ Zj, on obtiendra une équation qui pourra être intégrée comme une équation différentielle ordinaire entre les deux variables 0 et X, ou 2! et y. L’intégrale doit nécessairement contenir les deux fonctions arbitraires renfermées dans l’équation à intégrer. Si l’on peut résoudre les équations (2) et (3) par rapport à 0' et à z^^ alors, en substituant ces valeurs, on pourra intégrer l’équation
dz — z'dx — Zjdy = 0; car la condition d’intégrabilité
dz' \ àcc dz J dz \ dx dz ' dzj \a// ' dz
dw/d0 , d0 \ dz^ \ a^ ‘ a^! ^
sera remplie, ce dont il est aisé de s’assurer, en ayant égard aux égalités
Vi<z> = o, \72^ = o, ^2^ = 0.
118. Mais, d’après le Mémoire dans lequel Monge a exposé sa méthode C^-), • on voit que, au point de vue de la généralité, il avait déjà été fait une grave objection, fondeé sur ce qu’il existe des équations de la forme (1), admettant une intégrale primitive finie^ mais n’ayant pas d’intégrale générale du premier ordre: par xemple, l’équation
Histoire de l’Académie des Sciences, 1773.
Ch. m. § 16.
dont l’intégrale générale finie
a été trouvée par Euler. (Voir §. 11).
Ne voulant pas admettre un pareil fait, Monge s’est efforcé de représenter les intégrales générales du premier ordre de l’équation précédente sous la forme
= ,g'(a;4-3^) — 2a5V'(a;— + //)j(rZa;+d^),
en ajoutant pour la détermination des fonctions superflues les conditions
Mais dans ces expressions, comme on l’a remarqué avec justesse, il a été fait un usage illégitime du signe /(^j. En outre, on peut ajouter encore qu’après avoir admis l’existence de l’une des intégrales de cette forme, il n’y aura pas de raisons pour rejeter l’autre; mais, dans ce cas, les conditions précédentes pour la détermination des fonctions arbitraires superflues, ayant lieu en même temps, donnent z' = 0, c’est-à-dire changent z en une fonction de y seulement.
119. Ainsi, en ne prenant pour les intégrales du premier ordre que la forme (2) ou (3), on peut toujours examiner si l’équation (1) admet de telles intégrales; car cette question se ramène à cette autre: les équations (A) et (B) ont-elles chacune deux intégrales distinctes? et la solution de cette dernière question a été exposée avec détail dans un des §§. précédents.
Ampère, après avoir signalé de cette manière la nécessité de borner l’application de la méthode de Monge aux seuls cas où l’équation à intégrer admet une intégrale générale du premier ordre, a fait ressortir, en outre, la difficulté d’appliquer les méthodes ordinaires d’intégration à l’intégrale générale du premier ordre, par suite de la présence d’une fonction arbitraire dans cette intégrale. Mais
(*) „On a reproché que ces expressions étoient abusives.'* (Ibid., p. 137).
Ch. m. § 16.
la méthode Amp ère eUe-même, fondée aussi sur la détermination préalable d’une intégrale générale du premier ordre, n’écarte pas la difficulté qu’il avait lui-même remarquée, et à laquelle on ne peut évidemment échapper qu’en se servant d’intégrales particulières de l’équation (1), au lieu d’intégrales générales, comme nous le verrons plus tard.
120. Poursuivons notre étude de la méthode d’ Am père, et appelons actuellement l’attention sur une autre remarque de ce géomètre, consistant en ce que le système auxiliaire des équations différentielles ordinaires auxquelles se ramène l’intégration de l’équation (2) fournit les équations (B), et pareillement, que le système des équations auxquelles se ramène l’intégration de l’équation (3) fournit les équations (A). On peut se convaincre comme il suit de la vérité de cette remarque.
L’intégration de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre
Q (Wi, u^) = 0
conduit, comme on sait, au système d’équations simultanées
dx dy dz — dz' — dZj
dz' dz^ dz' ^ ‘dzy ' dx dz ^
Mais, en vertu de l’égalité \72 ^ = 0 ou
^ ^ HdO K— -y G dO
dy dz Ndz, N dz'
les équations formée par le le 2® et le dernier rapport peuvert s’écrire ainsi,
dx dy — dz^
^ ~ ^ ~ Hd^ K— y G dO '
dz' dzj N dz^ N dz'
En multipliant les deux termes du premier de ces rapports par — (K — y G), ceux du second par H et ceux du troisième par iV, et égalant le troisième rapport au rapport des sommes des termes des deux premiers, il vient
Hdy — {K—yG)dx —NdZj
BQ / dQ'
H^—(K—yG)
et, en supprimant les dénominateurs, qui sont égaux, on en tire la première des équations (B).
De plus, en vertu des égalités \7i = 0, ^2^ = 0, dont la
première donne
^ ^ , L dQ K+yGdQ
dx'dz^ N dz' N dz^ ’
Ch. m. § 16.
les équations formées par le l®’', le 4® et le 5® des rapports (4) peuvent s’écrire de la manière suivante,
dx — dz' — dz,
~ LdO HBO K— il} B<S>
dz' N Sz'~ N ëz N ëz~ N ~ 0a’
En multipliant les deux termes du premier rapport par ikf, ceux du second par ceux du troisième par G)^ puis égalant le pre-
mier rapport au rapport des sommes des termes des deux autres, ajoutés terme à terme, il vient
Mckc —Hdz’ — (K-\-iG)dz,
0(p “ HL-K^-iGëé ■
^ëz’ N cz'
Or on a
