HL-K^A-G

Donc, en supprimant les dénominateurs égaux dans les deux rapports précédents, on trouvera la seconde des équations (B).

Enfin, en multipliant les deux termes du premier des rapports (4) par 2:', ceux du second par et égalant le troisième rapport à celui de la somme des numérateurs à la somme des dénominateurs des deux premiers, il vient

z^dxA^Zid-y dz

, BQ ^ â0’

d’où l’on tire la troisième équation (B).

On vérifierait absolument de la même manière la seconde partie de la remarque d’ Amp ère.

121. Abstraction faite de l’imperfection signalée plus haut, la méthode de Monge est très-digne d’attention, comme étant le premier procédé suffisamment général qui ait été proposé pour l’intégration des équations de la forme considérée; d’autant plus que l’auteur de la méthode en a donné de belles applications dans sa célèbre „ Application de l’Analyse à la Gréométrie“. Nous allons, dans un court extrait, emprunter à cet ouvrage un exemple, pour donner une idée plus complète des différents procédés auxiliaires dont un analyste habile peut faire usage dans le développement et l’application des idées simples qui servent de fondement à cette méthode. Supposons qu’il s’agisse d’intégrer l’équation

Ch. IlL § 16.

où Ton a posé, pour abréger,

xz^ — yz xZf — yz

En comparant avec l’équation (1), on a ici

Af=iV=0, G = imp+z,) + a(tt + ^')f.

D’après cela, les équations (A) et (B) prennent la forme i (P + z^)dy-{-(a-\-z')dx = O,

\ cidz'-\- ^dZf = 0,

\ dz — z'dx — Zjdy = 0;

i cedy — ^dx = 0,

j (P+^,)dz'—{cc^z')dz, == 0,

( dz — z'dx — ^jdy = 0.

En ajoutant la première et la troisième des équations (A), on trouve

adx -}- ^dy -\-dz = 0.

La dernière équation, considérée en même temps que

adz' -\-^dZi = 0,

peut être remplacée par deux autres. Pour cela, il suffit de remarquer que les valeurs données ci-dessus de ce et de |3 s’obtiennent comme solutions algébriques des deux équations

ax-\-^y-\~z = 0, ctz'-\- pZf — 1 = 0,

En concevant donc que l’on ait substitué ici à a et à /3 leurs valeurs, et différentiant les identités ainsi obtenues, on trouve les égalités identiques

ccdx-\- ^dy-{-dz-\-xdct-{~yd^ — 0, adz'-{-^dz,-\~z'dc)i-\-Zjd^ = 0,

en vertu desquelles les deux équations à intégrer se ramènent à la forme xda-\-yd^ = 0, z'dct~\-Zjd^ — 0,

OU

dci = 0, d^ = 0.

Par suite les deux intégrales distinctes du système (A) sont

xz^ — yz'

x-\-zz'

xZf —

a et b désignant des constantes arbitraires.

On obtient maintenant une intégrale générale du premier ordor de l’équation proposée, en éliminant a entre les équations

Ch. m. § 16.

ac-f-i

xz, — yz ' xz^ — yz

(p désignant une fonction arbitraire. Mais, en vertu de la remarque faite plus haut, on peut, au lieu de ces équations, prendre les deux suivantes,

ax-\-y(p{a)-]-z = 0, az'-\-z^(p{a) — 1 = 0.

Pour en éliminer a, on peut imaginer que la valeur de cette quantité soit tirée de la première équation et substituée dans la seconde. Or, quelle que soit la fonction ç), cette valeur doit s’exprimer au moyen de ac, y^ z seulement. Donc la seconde équation, qui représente après la substitution l’intégrale générale du premier ordre, sera linéaire par rapport à s' et à z^. Par suite, pour en déduire l’intégrale primitive de l’équation donnée, il suffira d’intégrer le système d’équations simultanées

dxdy

en considérant a comme une fonction de æ, y^ 2?, satisfaisant à l’équation ax-\-y(p(a)-\-z = 0.

Ayant déterminé deux intégrales distinctes de ce système, avec des constantes arbitraires c, <?', et établissant entre ces dernières une relation arbitraire c' == 'tp(c) , on n’aura plus qu’à éliminer entre les trois équations ainsi obtenues les quantités c et c‘. Le résultat de l’élimination donnera l’intégrale générale primitive de l’équation proposée.

122. On peut trouver très - simplement une des intégrales du système considéré. On a, en effet, d’après ce système.

xdx-\-ydy

-r= dz,

ax-^y(p(a)

OU, par suite de l’équation ax~\-yçp{a)-\-z = 0, xdx-\-ydy-\-zdz — 0,

d’où, en intégrant,

C étant une constante arbitraire.

Cette intégrale peut encore s’obtenir facilement, en vertu d’une remarque d’Ampère, au moyeu du système des équations (B). En effet, si l’on substitue les valeurs de a et de dans la première de ces équations, et que, après avoir chassé le dénominateur, on l’ajoute à la troisième, il vient

xdx-];-ydy-\-zdz = 0.

En passant au calcul de l’autre intégrale du système (y), remarquons que l’on a

,on

Ch. m. § 16.

dx

et par suite

dz

dz

Or, des équations

xdx~\-ydy~\~zdz = 0,

Kl)

on tire

par suite,

dz =

xdx-\-ydy ,

dy^

xdx-\~ydy

(dx'^c^ — x^ — y^ xdx-\-ydy

L’intégration de cette dernière équation entre les deux variables a? et y s’effectue de la manière suivante. En désignant par œla quantité sous le signe (p, on aura, au lieu de l’équation précédente, ces deux-ci,

(a) (ox-{-ycp{(d) = ^ — x^ — 2/^ — cp{(a)dy^=^.

Si 00 était une constante, l’intégrale de la dernière équation serait de la forme

““ <p{fo)x = const. ;

mais, comme w est une quantité variable, la constante du second

membre doit être remplacée par une fonction de «, de sorte qu’on aura

{b) (oy — (p{üi)x -'/(w) = 0,

f{(o) étant déterminée de telle manière que la dérivée du premier

membre de l’équation précédente , prise par rapport à w seulement,

soit égale à zéro, c’est-à-dire, de manière que l’on ait

(c) y— (p'(œ)x—/(co) = 0.

Par l’élimination de x et de y entre les équations (a), (i), (c), on obtient une équation différentielle ordinaire entre w, ç)(w),/(w), laquelle peut servir à déterminer la forme de la fonction f. En effet,' des équations {b) et (c) on tire

(ùcp — (p ^ cog> — g>

Substituant ces valeurs de a; et de y dans la première équation («), il vient

( û3-f (ftpy yV

= yc2(«(p'--y)2 — (l-|-y'2y2 j 2(o,-}-qpy')j5r'(co2|-(p2)/'*.

Or, en posant

— — — (<»+ <py)f

rfO)“" (0)2-1-

il vient

Ch. in. § 16.

D’après cela, l’équation précédente s’écrira ainsi,

c^(œq) — w)^ ~ (l-j- cp'^)f^-{-2(cû-\~cpcp')^f* —

\dcoJ

en ajoutant cette dernière équation, multipliée par au carré

de la précédente, il vient

\d(o) (a)2 + qp2'2'

d’où

dv

Ÿc^ — (cû^-j-<P^)y l-j-

Les variables v et co sont ainsi séparées. En intégrant, il vient ^ /

sin

(œcp — cp)do:>

; 0)2 + gp2)y 1 +

En substituant la valeur de f dans l’équation (ô), et posant

on obtient l’intégrale générale primitive du problème, sous la forme

F = 0),y X(p(w) — y (a;2 + 2/^ - 2 j ( 2 + 2^ ^ gijj (^2 j ^2 | ^2)

(co(p''^q))dco

( 0)2 + q)2)y 1 + 0)2 + Çj2

Pour la condition qui déterminé 03, on a l’équation (c) ou

ôF

Ts]=0.

ÔCû

De même, en commençant par l’intégration du système (B), on peut obtenir encore une solution générale du problème précédent, présentant un intérêt spécial pour l’interprétation géométrique de l’équation proposée et de tous les résultats ultérieurs du calcul. Mais il ne nous est pas possible d’entrer ici dans ces détails.