Soient q) et tp deux fonctions quelconques des variables
arj, Pi^ » Prenons les dérivées partielles de ces
deux fonctions, d’abord par rapport aux variables puis
par rapport aux variables /?«, et écrivons les premières
au-dessus des secondes dans l’ordre suivant.
dçp
S'il)
Bq)
Bqf ^
Bq)
Bq) .
Bo)! ’
‘ ’ ’ Bxn ’
BXn*
Bq)
Brp
Bq)
Bq)
Bqj
ëp, ’
sfr
B^Pi'
Bpn
Cà. IV, 16. 49
iIBBpppPügy ^
.’ aux dérivées partielles du premier ordre.
Divisons ces deux lignes de termes en groupes composés le premier des deux premiers termes de chaque ligne, le second des deux suivants, et ainsi de suite; multiplions en croix les termes de chaque groupe, en prenant avec le signe -f les termes qui forment une des diagonales, et avec le signe — les termes qui forment l’autre diagonale. Nous obtiendrons de cette manière une suite de déterminants du second degré, dont la somme forme^ l’expression
dtp
dcp
d'IP
dcp
d'IP
dxi
dx^
dx2
dXn
dcp
d'IP ^
dcp
d'IP
dcp
dtp
Spi
Wn
dpn
que nous conviendrons de désigner par la notation
(qj, 'ijj).
On a ainsi, d'après cette définition ,
(1) (qp, i/>) =
dcp d^jj dxi* dxi dcp d'IP dpi" dpi
d'tp d(p
^Pi dpi
la sommation s’étendant à toutes les valeurs de i depuis 1 jusqu’à n.
Lorsqu’on examine les changements de forme de l’expression 'ip) pour différentes hypothèses faites sur les valeurs de q? et ' ij, de 'tp, on obtient d’abord les formules évidentes
. * (2) (q?, qj) = 0, (q), 'ip) = — (ip, qj), (-q?, 7p) = ~ (q>, tp).
d'IP . d^p
(xi, 'ip) = {pi, ip) — - (a = const, ip) = 0,
{xiy pi) = — (pi. Xi) =: l,
(Xi, Xk) = (pi, pk) = (xi, pk) = 0.
36. Relativement au mode de dépendance qui existe entie > les fonctions cp, ap et les variables Xi,..., Xn, pi,..., pn, nous ne ferons aucune espèce de restriction ; nous supposerons d’après I cela que ces variables entrent dans les fonctions considérées tant I explicitement qu’implicitement.
Soit, par exemple.
Imsc henetsky: Sur ^intégration des équations
(p Xn, Pm «U-*., «r),
'ifj /* (^2 f , . , f Xnf Pi J • • • 3 PUf 6|3 . ». 3 Ôfi)3
«i, — , Or et 6* désignant des fonctions de x^ — , Xn,
pn. On a, par définition.
VôÆ'i
dF BF Bc^ BFBür Bf Bf Bbi Bf BJ^
Bxi ' Btti Bxi Büt Bxi * Bxi ^ Bbi Bx» ‘ • Bbs Bxi
Ê£iÊf^. .:!a ïn . ..
^B^ Bf Bbs
Bar ^pi ’ ^pi ^ S6i Bpi * Bbs ^pi
En appliquant successivement les formules évidentes
on tire de là
Bf
Bf
BF
BF
+ g^(F, 62) + . (F, bs) + ^ (02, /•)+... + ^(ar, n
Bb
Bai
Bar
BF Bf ^ dF Bf ^ ^ ^ . BF Bf ^ ^
002 Bbi
BFBf
BF Bf
(flî. *1) + Z («a. 62) + • • • + 06.
0Or 062
+ (®»-» ^i)+ Bb^^^^’ 62) + ...+
0Or 06«
OU
Il est clair qu’ici les expressions [F, f] et (F, f) n’ont pas
mix dérivées partielles du premier ordre.
Ch. /F, 5. i6. 51
la même signification: la première suppose la variation complète des fonctions F et f, lorsqu’on fait varier les quantités a?!,.., Xn, Pi,..., pn en tant qu’elles entrent soit explicitement, soit implicitement; la seconde suppose seulement une variation partielle, lorsqu’on ne fait varier Xi,..., Xn, pi,..., pn qu’en tant qu’elles entrent explicitement.
il est aisé de remarquer l’analogie qui existe en général entre l’opération exprimée par le symbole [F, /*] et la différentiation des fonctions composées. On peut obtenir, en effet, tous les termes du second membre de (5), en ayant égard tour à tour à la variation de chacun des éléments des fonctions F et considéré comme variant seul.
