La méthode d’ Amp ère pour l’intégration de l’équation
(1) Æ"+2Kz\ -\-Lz,^+M+ -= 0,
dans les cas où elle admet une intégrale générale du premier ordre, constitue un changement de forme et un perfectionnement de la méthode de M 0 n g e
Représentons les deux systèmes d’équations, auxquels se ramène l’intégration de l’équation (1), sous la forme que leur a donnée Ampère (§. 12),
Ch. ni. § 17.
dz ! dy
Bx(a dx(cc
Jf__
0ic(/3 ^ dx(^
-f-ikf
Dans les équations (A) et (B), on prend respectivement pour variables indépendantes a: et a, et a: et j3; æ pouvant représenter ici l’une quelconque des deux anciennes variables indépendantes, et «, (3 désignant les arguments des deux fonctions arbitraires de l’intégrale générale primitive et finie de cette équation. Il est clair que, dans les équations (A) et (B), on peut changer partout le signe du radical Ÿ G.
124. Si l’équation (1) admet une intégrale générale du premier ordre, on peut alors supposer qu’il existe deux combinaisons des équations (A), telles qu’on les intégrerait de la même manière que si, au lieu de dérivées partielles, elles contenaient des dérivées ordinaires de fonctions de la seule variable x. Pour trouver ces deux combinaisons intégrables, si elles ne se présentent pas d’elles-mêmes, on peut se servir de la méthode exposée au §. 14. Ayant obtenu leurs intégrales, dans lesquelles entrent deux constantes arbitraires, on aura le droit de remplacer une de ces dernières par «, l’autre par une fonction arbitraire (pia) de car, dans les équations (A), on sous-entend qu’en même temps que cc il y a une autre variable indépendante a. Supposons donc que les deux intégrales distinctes' des équations (A) soient
(2) f{x, y, Z, z\ Z,) = or, F(x, y, z, z\ z^) = cp{a).
En considérant maintenant œ et /? comme variables indépendantes, et différentiant, dans cette hypothèse, par rapport à æ, on tire des deux équations précédentes ces deux-ci,
I dx'dydx{^'dz dxi^' dz' dx{^' dz^ dx(^ dx((3 ’
I I A j I I '/nJiL
\ dx ' dy ôx(^' dz bx(^'dz' dxÇ^' dz^ dx(^ ^ dx(^'
Si l’on élimine, entre les sept équations (2), (3) et (B), les quatre
. . , dz,
quantités 2,2;, » 0^’ obtient trois équations, dans les-
Ch. m. § 17.
quelles il n’entre que les dérivées par rapport à x des variables jr, a, a. On peut donc ,les intégrer comme un système déterminé d’équations simultanées aux différentielles ordinaires, et l’on trouve ainsi les expressions de a au moyen de x et de trois constantes arbitraires (7, (/, Cf'. Mais, comme il est sous-entendu que /S est, en même temps que ic, la seconde variable indépendante, les constantes arbitraires (7, (7', C" pourront être remplacées respectivement par /3, désignant par et % des fonctions arbitraires.
Mais l’ensemble de ces trois équations, renfermant trois fonctions arbitraires % Xj représente pas encore l’intégrale générale de l’équation (1), puisque cette intégrale ne doit contenir que dbux fonctions arbitraires. La présence de la fonction arbitraire superflue s’explique par la raison que nous nous sommes servis d’une partie seulement des conditions qui déterminent la fonction s, savoir, des équations dans lesquelles il n’entre que les dérivées partielles par rapport à x, tandis qu’il est nécessaire d’avoir égard aussi aux autres équations, où entrent aussi les dérivées partielles par rapport à
En effet, en exprimant l’équation
dz == z'dx-j-Zfdÿ
au moyen des variables indépendantes x et j3, on aura
d’où l’on tire les deux équations
dz r\^ ^
et nous n’avons pas encore tenu compte de la seconde de ces équations. En y substituant donc les valeurs trouvées pour les fonctions 2/, ^3, nous obtiendrons une condition pour la détermination et l’élimination de la fonction arbitraire superflue. Pour cela, on peut se servir d’une autre équation, équivalente à la précédente, et que l’on trouve en se fondant sur ce que l’on a
0/î dx
ou
dz' dz, dy , d^y ^
Bxdp “ dx dp'^^'dxd^*
d’où l’on tire
dz' ^dy dz, dy
dp “
125. Appliquons cette méthode d’intégration à l’exemple particulier suivant,
Ch. ni. § 17.
Les deux premières équations du système (A), dans lequel nous remplacerons les signes de V(r par les signes opposés, prennent la forme
^'dx(a + ^dx(ci ~~
dz.
En intégrant la première de ces équations, il vient
Éliminant entre ces équations » on a la combinaison intégrable
d’où résulte
Si l’on prend pour variables indépendantes « et /J, et que l’on différentie dans cette hypothèse les équations
(2) z'-{-x = y(p{a), on trouve
..X X H , S ^y ^ ... Sa
A ces quatre équations il faut encore ajouter le système (B), qui devient, en changeant partout le signe de Vg,
8y dzj
L’équation (4) prend, en vertu de (6), la forme 1 8y (p'(a) 8a
= O, d’où yq)ia) = /3.
y8x(^' cp(a) 8x0 L’équation (5) prend, en vertu de (3), (2) et (8), la forme 8a
y(p{a) = /3, d’où « = ^x-]- tjj0).
L’équation (7), en vertu de (2), (8) et (1) peut s’écrire ainsi, 8z
Or on tire de (8)
dx(^
Ch. m. § 17,
pcp'(a) da
g)'(cc) da
et par suite
dz
dx{^ P ic a .
On en conclut, par Tintégration,
« = (^^~^^—ci^ogcp(a)-\-J\og(p(a)da-{-x(^).
En supposant maintenant log^Ccu) = O' (a), les trois équations obtenues par l’intégration peuvent s’écrire comme il suit,
Pour éliminer la fonction arbitraire superflue, il faut satisfaire à l’équation
dz dy
On trouve, pour cela.
dz
dl3(x
d^ipc
da
a—ip(^)
En substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on obtient la relation suivante entre les fonctions et
Par suite, l’intégrale primitive générale de l’équation proposée, après l’élimination de a, peut se mettre sous la forme suivante
" = (/3-|)*+® îÆ*+/(/3)]!-^[*+/(/3)]®' f^[»;+z'(ft]i + xtf),
L’intégrale primitive générale peut s’obtenir sous une forme plus simple, en mettant les intégrales du système (A) sous la forme (!') yz^ = q)(a),
(2') z' -\-x = ya.
Si l’on considère x et P comme variables indépendantes, et que l’on difîérentie les équations précédentes par rapport à a:, il vient
dz'. da dy
Des équations (4') et (6) on tire
Ch. m. § 17.
L’équation (5), en vertu de (3'), (2') et (8'), devient
et donne, par l’intégration,
cp(ci) =
Enfin (7), en vertu de (2'), (8') et (1'), prend la forme
Or, on tire de (8^
/3 dfx
dx(^ dx(p ’
d’où
dx(^ r ^ ^
par suite, en posant (p(ci) = aO'(ci), on aura
a0'(cc) — ^x-\-'ilj(^)^
Il est facile de vérifier que, au moyen des valeurs précédentes de y, a, Zj, on satisfait encore à l’équation
dz dy
si l’on pose, semblablement à ce qui été fait dans le cas précédent.
Il s’ensuit de là que, par l’élimination de a, l’intégrale générale primitive est représentée par les équations
dont la seconde s’obtient en différentiant partiellement la première par rapport à /?.
Il est aisé de s’assurer que l’intégrale peut s’obtenir aussi trèssimplement sous cette dernière forme par la méthode de Monge.
126. D’après les indications que nous venons de donner, on voit que la méthode d’Ampère consiste en réalité dans un simple changement de forme de la méthode de Monge. Dans la première, absolument comme dans la seconde, on commence par déterminer, au moyen du système (A) par exemple, une intégrale générale du premier ordre de l’équation (1). Au lieu de considérer, avec Monge, cette intégrale comme une équation aux dérivées partielles du premier
Ch. m. § 17.
ordre, et de former, pour Tintégrer, le système auxiliaire des équations simultauées de Lagrange, Ampère fait directement usage des équations (B), qui, ainsi qu’on Ta démontré, doivent être renfermées dans le système de Lagrange. C’est précisément dans ce procédé que consiste l’avantage de la méthode d’Ampère. Mais de cette manière on ne se débarasse pas de la fonction arbitraire de l’intégrale générale du premier ordre, laquelle se montre inévitablement dans les trois équations simultanées aux différentielles ordinaires, à l’intégration desquelles se ramène finalement la question. En outre, dans les intégrales de ces équations, il entre trois fonctions arbitraires, dont une doit être éliminée au moyen de l’une des équations Sz dy dz dz' oy dz^ ôy
ce qui amène une complication du problème, que l’on ne rencontre pas dans la méthode de Monge.
Dans le Chapitre suivant, nous exposerons une méthode qui évite la présence des fonctions arbitraires dans les équations à intégrer du problème primitif. Car, dans les cas mêmes où l’équation (1) admet des intégrales générales du premier ordre, on peut, d’après notre méthode, employer, au lieu de ces dernières, des intégrales particulières où il n’entre pas de fonctions arbitraires.
