Si l’équation

(1) Bz"+2Kz', + Lz^^+M+N(z\—z',^) = 0

n’a pas d’intégrales générales du premier ordre, alors les méthodes d’intégration fondées, comme celle de Monge, sur la supposition de l’existence de ces intégrales ne sont plus applicables. Lagrange a cherché à fonder la théorie de l’intégration des équations comprises dans la forme générale (1) sur la détermination de leurs intégrales i particulières complètes, c’est-à-dire contenant cinq constantes ar- ; bitraires, et sur l’application de la méthode, découverte par lui, de ; la variation des constantes arbitraires. Mais de cette manière on i obtient des conditions dont la réalisation est en général si difficile, : qu’ü a lui-même reconnu ce procédé comme étant plus curieux qu’utile, j A mp ère (*) aappliqué avec bien plus de succès la méthode de la variation j

(*) Journal de l’École Polytechnique, XVIIIe Cahier, §. IV. |

fl

Ch. IV. § 18.

des constantes arbitraires aux intégrales particulières du premier ordre, tirées des systèmes d’équations

rj^y I AT

dx(a

Bz

dx(a

Bx(a ^'dx(a

I Jf 8ÿ ri

I dx(^ ^ '

lorsque chacun de ces systèmes, ou au moins l’un d’eux n’admet qu’une seule combinaison intégrable, et que par suite il est impossible d’obtenir pour l’équation (1) une intégrale générale du premier ordre. Avant qu’Ampère eût attiré l’attention sur ces intégrales particulières, on n’en avait su tirer aucun parti pour la recherche de l’intégrale générale primitive de l’équation (1).

On ne peut cependant s’empêcher de remarquer que la théorie fondée par Ampère sur cette idée profonde et orginale, ne se distingue pas par la simplicité, et que la voie même qu’il a choisie pourrait être aplanie en beaucoup de points et conduire plus directement au but. En outre, comme Bour le fait remarquer avec raison, „les cas où les équations de la caractéristique “ [c’est-à-dire les équations (A) et (B)] „ n’admettent pas de combinaison intégrable, ont à peu près échappé jusqu’à présent à tout essai d’une théorie générale (*).“ A en juger d’après certains passages du Mémoire de Bour d’où est tirée la remarque précédente, et où il expose quelques considérations détachées sur l’intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, on peut en conclure qu’ü a regardé comme possible de revenir à la méthode de Lagrange, malgré les difficultés qu’elle présente. ,,Je suis heureux dit-ü comme conclusion de son Mémoire, „ d’avoir prouvé que ces difficultés ne sont pas toujours insurmontables-, et que la belle méthode de Lagrange, après avoir si bien élucidé toutes les questions relatives aux équations du premier ordre, n’a pas encore dit son dernier mot sur la théorie beaucoup plus difficile des équations à différences partielles du second ordre (**).“

{*) Journal de l’École Polytechnique, XXXIXe Cahier, p. 189.

(**) Ibid., p. 191.

Ch. IV. § 18.

L’étude attentive des méthodes de Lagrange et d’Ampère m’a conduit à la conviction de la possibilité d’appliquer la théorie de la variation des constantes arbitraires aux intégrales particulières de l’équation (1), sous une forme plus simple et plus générale que celle sous laquelle Ampère a présenté sa méthode. En me fondant seulement sur la supposition de l’existence d’intégrales primitives particulières de l’équation (1), renfermant trois constantes arbitraires, j’ai obtenu des formules générales pour en déduire l’intégrale générale de l’équation (1) au moyen de la variation des constantes arbitraires de l’intégrale particulière. La généralité de l’hypothèse fondamentale permet d’appliquer ces formules, non-seulement au cas mentionné plus haut et dont Ampère s’est occupé exclusivement, mais encore à celui où les équations (A) et (B) n’admettent aucune combinaison intégrable, ou à celui, au contraire, dans lequel ces deux systèmes d’équations admettent plus d’une combinaison intégrable. Nous avons ainsi une méthode embrassant tous les cas de l’intégration de l’équation (1) qui diffèrent par le nombre des intégrales possibles des équations (A) et (B), nombre qui peut varier depuis trois jusqu’à zéro inclusivement. Nos formules générales, considérées sous un autre point de vue, donnent un nombre illimité de méthodes pour obtenir des transformations de l’équation (1), par suite desquelles celle-ci conserve son type primitif, ou éprouve une simplification notable, en se changeant en une équation linéaire par rapport aux dérivées partielles du second ordre.

128. En abordant maintenant l’exposition de la méthode de la variation des constantes arbitraires, nous commencerons par nous occuper de la solution de la question importante que voici: Comment peut-on obtenir l’intégrale générale de l’équation

(1) , lorsqu’on en connaît une iutégrale particulière quelconque, renfermant trois constantes arbitraires?

Il est évident que le succès de la résolution de cette question comprend toute la théorie de la méthode d’intégration considérée.

Soit

(2) 2! = 03 (a-, y, or, y, ri)

une intégrale particulière de l’équation (1), renfermant trois constantes arbitraires a, y, r]. En la différentiant par rapport à æ et à y, on aura les expressions des cinq dérivées partielles du premier et du second ordre de la fonction s;, que l’on pourra représenter par

/ — cû', z" = cù'\ z'j = co',,

Par la substitution de ces expressions et de l’expression donnée de 0, le premier membre de l’équation (1) devra, d’après la supposition, se réduire identiquement à zéro, pour des valeurs quelconques des quantités of, y, ly

Ch. IV. § 18.

Supposons maintenant qu’une de celles-ci, par exemple, représente une fonction, provisoirement indéterminée, de « et de y, et que « et y soient déterminés en fonction de x et de ^ par les équations 8œ dcûdfj dü) Bcody

da'dfjda ’ dy'dfjdy ’ que l’on obtient en égalant séparément à zéro les dérivées partielles de œ par rapport à a et à y. On pent écrire ces équations plus brièvement, de la manière suivante [art. 101],

Sa ’ dy

en convenant qu’un point placé après le signe d indique que la différentiation par rapport à « ou à y est faite non -seulement en tant que ces quantités entrent explicitement, mais encore en tant qu’elles entrent par le moyen d’autres quantités, comme elles le font dans le cas présent par le moyen de rj.

129. Voyons à quelles conditions les trois équations (2) et (3) pourront représenter une intégrale de (1). Pour cela, calculons de nouveau les expressions des dérivées partielles de z, en ayant égard aux suppositions que nous avons faites relativement à a, y, tj.

En vertu des équations (3), les expressions des dérivées du premier ordre conserveront leur forme primitive,

z' = û)', Zj = G}j.

Les expressions des dérivées du second ordre changent, et deviennent 0.0)' 0a 0. co'dy 0a dx' dy dx^